2.3 连续型随机变量与随机变量的分布函数_概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

应用数理学院第二章第三节连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.第二章第三节连续型随机变量请看演示:怎样画直方图直方图与概率密度（I）直方图(一)概率密度函数,使得对任意,有对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),x则称X为连续型r.v.,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度.(II)连续型r.v.及其概率密度函数的定义(III)概率密度函数的性质1o2o这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.若x是f(x)的连续点，则：=f(x)3.对f(x)的进一步理解:要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.4.连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为由此得，1)对连续型r.vX,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,可见，由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出B=（二）、随机变量的分布函数设X()是一个随机变量.称函数F(x):=P{X≤x},-∞x∞为随机变量X的分布函数.分布函数的性质（1）ab,总有F(a)≤F(b)(单调非减性)（2）F(x)是一个右连续的函数（3）xR1,总有0≤F(x)≤1(有界性),且定义证明:仅证(1)∵{aX≤b}={X≤b}∩{Xa}={X≤b}-{X≤a},而{X≤a}{X≤b}.∴P{aX≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a).又∵P{aX≤b}≥0,∴F(a)≤F(b).上述证明中我们得到一个重要公式:P{aX≤b}=F(b)-F(a).它表明随机变量落在区间(a,b]上的概率可以通过它的分布函数来计算.注意设离散型随机变量X的分布律为pk:=P{X=xk},k=1,2,…,X的分布函数离散型随机变量的分布函数分布函数F(x)是一个右连续的函数,在x=xk(k=1,2…)处有跳跃值pk=P{X=xk},如下图(图2.2.1)所示P29,例2.2.1X的分布函数F(x)=0x00.040≤X10.361≤X212≤X连续型r.v.的分布函数即分布函数是密度函数的可变上限的定积分.若X是连续型r.v.，X～f(x),则F(x)=P(Xx)=～由上式可得，在f(x)的连续点，下面我们来求一个连续型r.v的分布函数.例设r.vX的密度函数为f(x)求F(x).F(x)=P(Xx)=解：对x-1，F(x)=0对对x1，F(x)=1即(三)常见的连续型随机变量正态分布、均匀分布、指数分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.一、正态分布你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。(I)、正态分布的定义若r.v.X的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布.(Normal)(II)、正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c,x=μ-c(c0),分别代入f(x),可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。当x→∞时，f(x)→0,用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μσ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。实例年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.(III)、设X~,X的分布函数是(IV)、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,则~N(0,1)设定理1书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.（V）、正态分布表表中给的是x0时,Φ(x)的值.当-x0时若~N(0,1)若X～N(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974（VI）、3准则将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.例1（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X175}的概率为P{X175}==0.2578解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(Xh)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?因为X～N(170,7.692),故P(Xh)=0.99查表得(2.33)=0.99010.99所以=2.33,即h=170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.P(Xh)0.99求满足的最小的h.若r.v.X的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U[a,b]二、均匀分布(Uniform)（注：X～U（a,b））均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X～U[a,b]，则对于满足的c,d,总有则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.三、指数分布：若r.vX具有概率密度常简记为X~E().这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。还介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布;还要给出德莫佛极限定理的证明.另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布