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第三节等比数列及其前n项和三年13考高考指数:★★★1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.重点考查通项公式、前n项和公式，同时考查等差、等比数列的综合应用.2.在考试形式上主要以选择、填空为主,考查等比数列的性质及其应用.1.等比数列的定义(1)条件：一个数列从第2项起_______________________等于同一个常数.(2)公比：是指_____，通常用字母q表示(q≠0).(3)定义表达式:.每一项与它的前一项的比常数*n1naq(nN,q0)a+=喂【即时应用】判断下列数列是否为等比数列(请在括号中填“是”或“否”)(1)数列1,-1,1,-1,1,…()(2)数列a,a,a,a,a,…()(3)数列{an}满足an=2an-1(n≥2,n∈N*,an≠0)()(4)数列{an}满足an+1=2an(n≥2,n∈N*,an≠0)()【解析】(1)是等比数列.(2)当a=0时，不是等比数列.(3)符合等比数列的定义，是等比数列.(4)a2与a1的关系不明确，不一定是等比数列.答案：(1)是(2)否(3)是(4)否2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为__________________.an=a1qn-1(n∈N*)【即时应用】(1)等比数列4,4,2,…的第11项为_______.(2)在等比数列{an}中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为_______.【解析】(1)22101122a42().28\=?1222a42,q,42===(2)设等比数列的公比为q，则解得答案:2151aq2aq16ìï=ïíï=ïî11a2q2ìïï=ïíïï=ïîn1n2n1a22.2--\=?n2n2(1)(2)a28-=3.等比中项如果_______成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒________.a,G,bG2=a·b【即时应用】(1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_______条件.(2)若等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第5项为_______.【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac是a、b、c成等比数列的必要不充分条件.(2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,答案:(1)必要不充分(2)13a4,q,2\==45381a4().24\=?8144.等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=____.(2)当公比q≠1时,Sn==.na1n1a(1q)1q--1naaq1q--【即时应用】(1)在等比数列{an}中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，则Sn=_______.(2)在等比数列{an}中，a1=8,q=an=则Sn=______;(3)设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn，则=______.12，12，42Sa【解析】(1)答案:n51na(1q)2.41(1.5)33S.1q11.54［］---===-+1nn444121118aaq3122(2)S.11q212Sa(1q)11215(3).aaq1q2(1)2-?-===----=?=-?333115(1)(2)(3)422等比数列的基本运算【方法点睛】1.等比数列运算的通法等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解.2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q≠1两种情况求解.【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.【例1】(1)已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是{an}的前n项和,若a1=1,5S2=S4，则a5=_______.(2)(2011·大纲版全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.【解题指南】(1)根据5S2=S4，列方程求公比q.(2)建立关于a1和q的方程组，求出a1和q后再求an和Sn.【规范解答】(1)设公比为q,则由5S2=S4知q≠1,又a1=1,∴∴q2=4,又q＞0,∴q=2.∴a5=a1q4=1×24=16.答案:1641q5(1q),1q-+=-(2)设{an}的公比为q，由题意得解得或当a1=3,q=2时，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);当a1=2,q=3时，an=2×3n-1,Sn=3n-1.1211aq66aaq30ì=ïïíï+=ïî1a3q2ì=ïïíï=ïî1a2,q3ì=ïïíï=ïî【反思·感悟】1.本例(1)只有一解，本例(2)有两组解，在求解过程中，要注意根据题意确定解的个数.2.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.等比数列的判定与证明【方法点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若(q为非零常数,n∈N*)或(q为非零常数且n≥2,n∈N*)，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.n1naqa+=nn1aqa-=(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.【提醒】前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列.(2)在(1)的条件下证明是等差数列,并求an.【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-1的关系.(2)先求bn，再证明数列是等差数列，最后求an.nna{}2nna{}2【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2,有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.由Sn+1=4an+2①知当n≥2时，有Sn=4an-1+2②①-②得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-2an-1)又∵bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1,∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,∴数列是首项为公差为的等差数列.n1nn1naa3,224++\-=nna{}212，34nna1331(n1)n,22444\=+-=-n2na(3n1)2.-=-【反思·感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商或在作商时，无论使用还是都要考虑比值中是否包含了这一项，这是很容易被忽视的地方.n1nbb+nn1bb-，n1nb,b+nn1bb-，21bb等比数列的性质及应用【方法点睛】等比数列的常见性质(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=ak2;(2)通项公式的推广：an=am·qn-m(m,n∈N*);(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan},(λ≠0)仍然是等比数列;n1{},a{}{}2nnnnnaa,ab,{}b(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk;(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1·a2·a3=5,a7·a8·a9=10，则a4·a5·a6=()(A)5(B)7(C)6(D)4(2)已知等比数列{an}满足an＞0，n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3)，则log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于()(A)n(2n-1)(B)(n+1)2(C)n2(D)(n-1)222【解题指南】(1)利用a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列求解.(2)根据a5·a2n-5=an2先求an，再代入求解.【规范解答】(1)选A.∵a1·a2·a3,a4·a5·a6,a7·a8·a9成等比数列,∴(a4·a5·a6)2=(a1·a2·a3)(a7·a8·a9)=50,又an＞0,∴a4·a5·a6=52.(2)选C.∵a5·a2n-5=an2=22n且an＞0,∴an=2n,∴a2n-1=22n-1,∴log2a2n-1=2n-1,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)=n2.【反思·感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解,但不如用等比数列的性质简单.2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标,不要犯a2·a5=a7的错误.【创新探究】等比数列与三角函数相结合的创新题【典例】(2011·福建高考)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和(1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x=处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式.313S.3=6p【解题指南】(1)先求a1，再求an.(2)先求出a3，从而A可知，再根据f(x)的图象过点(A),求φ.【规范解答】(1)由q=3,解得,6p313a(13)1313S,3133，得-==-11a,3=n1n2n1a33.3--\=?(2)由(1)知an=3n-2,∴a3=3.∵函数f(x)的最大值为3,所以A=3.∵当x=时,f(x)取得最大值,∴sin(2×+φ)=1.又0＜φ＜π,∴φ=∴函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+).6p6p,6p6p【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下创新点：(1)考查内容上有所创新，等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，把它们有机地融合在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求；(2)考查方式上创新，本题一改以往对数列与函数、不等式相结合的传统命题方式，而是求新求变，与三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力.备考建议在解决与数列有关的创新问题时，要注意以下几点：(1)解答此类问题应采取先局部后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数,再从整体上考虑两部分相关联的地方.(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面来考虑.1.(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为()(A)2(B)4(C)8(D)16【解析】选B.因为等比数列{an}满足anan+1=16n,①所以an+1an+2=16n+1②②÷①得q2=16.又因为anan+1=16n＞0,所以q=4.2.(2012·巢湖模拟)在等比数列{an}中，a1+a2=1,a3+a4=2,则a5+a6+a7+a8=()(A)10(B)11(C)12(D)14【解析】选C.由题意知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,∴a5+a6=2×2=4,a7+a8=4×2=8.∴a5+a6+a7+a8=4+8=12.3.(2012·福州模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1