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知识点一开普勒运动定律1.开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在椭圆的一个_______上.椭圆焦点2.开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的______在相等的时间内扫过相等的______.连线面积3.开普勒第三定律所有行星的轨道的_______的三次方跟__________的二次方的比值都相等，表达式：__________.半长轴公转周期a3T2＝k【易错防范】(1)比例系数k是一个与行星有关的常量.()(2)当中心天体不同时，k值是不同的.()(3)在太阳系中，不同行星运动轨道的半长轴都不相同，故其公转周期也不相等.()×√√知识点二万有引力定律1.公式F＝Gm1m2r2，其中G＝__________________叫引力常量.6.67×10－11N·m2/kg22.适用条件只适用于________的相互作用.3.对万有引力定律的说明(1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离.(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中r为质点到球心间的距离.质点间【名师助学】万有引力与重力的关系万有引力――→提供随地球自转所需的向心力――→产生物体的重力知识点三行星或卫星运动参数的关系做匀速圆周运动的行星或卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝ma，可推导出：GMrGMr3GMr24π2r3GM减小减小增大增大【名师助学】地球同步卫星的六个“一定”知识点四三种宇宙速度1.第一宇宙速度v1＝GMR＝_________，是物体在地球地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是在地面上发射卫星的最小发射速度.7.9km/s2.第二宇宙速度v2＝_________，是在地面附近发射飞行器，使其克服地球引力永远离开地球所需的最小发射速度.11.2km/s3.第三宇宙速度v3＝________，是在地面附近发射飞行器，能够挣脱太阳的束缚飞到太阳系外的最小发射速度.16.7km/s【易错防范】(1)卫星在轨道上的运行速度，随卫星轨道半径的增大而减小.()(2)卫星在较高轨道上运行时的机械能较小.()(3)发射速度随高度的增大而增大.()√√×要点一重力加速度的计算[突破指南]【典例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1－dRB.1＋dRC.R－dR2D.RR－d2解析设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝GMR2.地球质量可表示为M＝43πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝43π(R－d)3ρ，解得M′＝R－dR3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝GM′（R－d）2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g′g＝1－dR，选项A正确，选项B、C、D错误.答案A【借题发挥】利用题中的信息，可将矿井中物体的引力模型等效为地面物体的引力模型，但需注意“d”既影响“R”，也影响“M”.要点二行星(卫星)的运行参数及规律[突破指南]天体运动问题的两种典型模型1.星体表面的物体：万有引力近似等于重力：F引＝mg，即GMmR2＝mg，整理得GM＝gR2.该公式常用于g已知而M未知时的数量代换，称为黄金代换.2.绕另一天体转动的行星或卫星，近似看成圆周运动，万有引力全部提供向心力，即GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r.【典例2】一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的()A.向心加速度大小之比为4∶1B.角速度大小之比为2∶1C.周期之比为1∶8D.轨道半径之比为1∶2【解题探究】(1)卫星变轨后动能减小，轨道半径如何变化？(2)随着卫星轨道半径增大，卫星运行的快慢如何变化？提示(1)轨道半径增大(2)卫星越高越慢解析动能(Ek＝12mv2)减小为原来的14，则卫星的环绕速度v变为原来的12；由v＝GMr知r变为原来的4倍；由ω＝GMr3，a向＝GMr2，T＝4π2r3GM知ω变为原来的18，a向变为原来的116，T变为原来的8倍，故C正确.答案C【借题发挥】巧用“天上”“人间”公式解决天体运动问题要点三天体质量或密度的估算问题[突破指南]【典例3】(2015·四川成都外国语学校月考)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为()A.1.8×103kg/m3B.5.6×103kg/m3C.1.1×104kg/m3D.2.9×104kg/m3解析设该行星和地球的质量、半径、体积分别是M1和M2、R1和R2、V1和V2，则该行星的平均密度ρ1＝M1V1，地球的平均密度ρ2＝M2V2，所以ρ1ρ2＝M1V2M2V1＝254.7.对于地球的近地卫星有GM2mR22＝m(2πT)2R2，又ρ2＝M243πR32，所以ρ2＝3πGT2.综上可知ρ1＝75π4.7GT2≈2.9×104kg/m3.答案D要点四同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较[突破指南]用A代表同步卫星，B代表近地卫星，C代表赤道上的物体.用M代表地球质量，R代表地球半径，h代表同步卫星离地表的高度.(1)向心力的来源不同同步卫星A和近地卫星B都是卫星，绕地球运行的向心力由地球对它们的万有引力提供.而赤道上的物体C随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供.所以卫星的动力学规律对赤道上的物体不适用.但因C和A周期T相同，故可用圆周运动的基本规律分析.(2)同步卫星A与近地卫星B的比较根据卫星的动力学规律知v＝GMr，T＝2πr3GM，a＝GMr2，可得vAvB＝RR＋h，TATB＝（R＋h）3R3，aAaB＝R2（R＋h）2.(3)同步卫星A与赤道上物体C的比较根据同步卫星A与赤道上物体C的周期T相同以及v＝2πrT、a＝4π2rT2，可得vAvC＝（R＋h）R，aAaC＝（R＋h）R.综上可知，对同步卫星A、近地卫星B和赤道上的物体C而言，有TA＝TC＞TB，vB＞vA＞vC，aB＞aA＞aC.【典例4】a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图甲所示)，经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的(取地球半径R＝6.4×106m，地球表面重力加速度g＝10m/s2，π＝)()解析对卫星b有GMm（R＋h）2＝m4π2T2b(R＋h)，而GMmR2＝mg，即gR2＝GM，所以卫星b的运动周期Tb＝2π（R＋h）3gR2，代入数据解得Tb＝509h.故经48h卫星b转过的圈数n＝tTb＝8.64圈.而同步卫星c的周期与地球的自转周期相同，即建筑a与同步卫星c都转过2圈，回到原来的位置，B正确.答案B要点五卫星的变轨问题[突破指南]1.圆轨道上的稳定运行若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，则它将保持匀速圆周运动，即GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr(2πT)2.2.变轨运行分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或受阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行.(1)当v增大时，所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝GMr知，其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加.(2)当卫星的速度突然减小时，向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.进入新轨道运行时，由v＝GMr知，运行速度将增大，但重力势能、机械能均减小(卫星的发射和接收就是利用了这一原理).卫星的发射和回收都是利用以上原理通过多次变轨实现的，由于变轨时卫星需要借助“点火”实现加速或减速，变轨前后的机械能不守恒，有其他形式的能量参与转化.【典例5】(多选)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有()A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度解析椭圆轨道远地点A的速度小于近地点B的速度，故选A；在A点由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，动能减小，故选B；由开普勒第三定律a3T2＝常数(其中a为椭圆或圆轨道的半长轴)，知，因aⅡ＜aⅠ，有TⅡ＜TⅠ，故选C；由GMmr2＝ma知，两个轨道在A点加速度相等，故不选D.答案ABC【借题发挥】处理卫星变轨问题的思路和方法(1)要增大卫星的轨道半径，必须加速.(2)当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大.宇宙中的双星及多星问题宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星、四星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律.一、双星问题1.双星系统的特点(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等.(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小相等.(3)两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即r1＋r2＝L.2.双星系统的三大规律(1)双星系统的周期、角速度相同.(2)轨道半径之比与质量成反比.(3)双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关.【典例1】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT解析设两恒星的质量分别为m1、m2，转动半径分别为r1、r2，则两恒星的距离r＝r1＋r2，根据万有引力定律和牛顿运动定律知，对m1：Gm1m2r2＝m1r1(2πT)2，对m2：Gm1m2r2＝m2r2(2πT)2，两式联立得T＝2πr3G（m1＋m2）.所以，当两星的总质量变为原来的k倍，距离变为原来的n倍时，圆周运动的周期变为n3kT，B正确.答案B【借题发挥】由双星模型的特点可知rR＝Mm，即质量越大的星体离转动中心的距离越近，对月—地系统而言，因地球的质量远大于月球的质量，所以转动中心离地球很近，这就是为什么我们认为“月球绕着地球转”.二、三星问题三星问题有两种情况：第一种情况三颗星处在同一直线上，两颗星围绕中央的星(静止不动)在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种情况三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星运行周期相同.【典例2】(2015·广东实验中学月考)(多选)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r.关于该三星系统的说法中正确的是()A.在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B.在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧C.小星体运行的周期为T＝D.大星体运行的周期为T＝解析在稳定运行的情况下，某一个环绕星而言，受到两个星的万有引力，两个万有引力的合力提供