2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合 直线与圆、圆与圆的位置关系

2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线与圆、圆与圆的位置关系考点考纲解读1直线与圆的位置关系能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.2圆与圆的位置关系能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系.3直线和圆的方程的应用能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 从近几年高考来看,涉及本节内容的试题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系,考查用代数方法处理几何问题的思想,题型以选择题、填空题为主,属中档题.可以预测2013年高考考查的热点问题是利用直线与圆的位置关系求弦长问题.求圆的方程或求参数范围问题,同时着重考查数形结合思想的应用.1.常用研究方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系.2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:若d= ,则dr⇔相离⇔Δ0;d=r⇔相切⇔Δ=0;dr⇔相交⇔Δ0.3.直线和圆相切(1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2的以P(x0,y0)为切点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.22||AaBbCAB 一、直线与圆的位置关系当点P(x0,y0)在曲线外时,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2表示切点弦的方程.(2)一般地,曲线Ax2+Cy2-Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的切线方程是:Ax0x+Cy0y-D· +E· +F=0.当点P(x0,y0)在曲线外时,Ax0+Cy0y-D· +E· +F=0表示切点弦的方程.这个结论只能用来做选择或者填空题,若是做解答题,只能按求切线方程的常规过程去做.(3)过圆外一点的切线方程:一般求法是设点斜式,利用圆心到切线的02xx02yy02xx02yy距离等于半径求斜率.二、圆与圆的位置关系判定方法:设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,|O1O2|=d.①dr1+r2⇔外离⇔4条公切线;②d=r1+r2⇔外切⇔3条公切;③|r1-r2|dr1+r2⇔相交⇔2条公切线;④d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;⑤0d|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.三、圆系方程1.经过两个圆交点的圆系方程:经过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不表示后一个圆).若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.2.经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(不表示直线l).1.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有()(A)2条.(B)3条.(C)4条.(D)6条.【解析】由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有2条,此时与两坐标轴的截距都是0;当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时,此切线过一、二、四象限,易知满足题意的切线有2条,综上共有4条.【答案】C2.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A、B两点,则线段AB的中垂线方程为 ()(A)x+y-3=0.(B)x-y-3=0.(C)x-y+3=0.(D)x+y+3=0.【解析】AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C1(3,0),C2(0,3),C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0.【答案】A3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=.【答案】3【解析】圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0距离为 =3.|31424|54.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2 ,则k的取值范围是.3【解析】圆心(3,2)到直线的距离d= ,则由|MN|≥2 及圆的半径为2,得d= ≤1,解得- ≤k≤0.2|31|1kk32|31|1kk34【答案】[- ,0]34题型1直线与圆的位置关系 例1已知动直线l:y=kx+5和圆C:(x-1)2+y2=1,试问k为何值时,直线l与圆C相离、相切、相交.【分析】联立方程,消去一个未知数(如y),可得关于x的二次方程,再利用判别式Δ0,Δ=0和Δ0,求k的取值范围.或者利用圆心到直线的距离与半径的大小关系,求参数k的取值范围.【解析】(法一)(代数法)联立方程 消去y整理得:(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0,则Δ=(10k-2)2-4(k2+1)×25=-40k-96,∴当直线l与圆C相离时,有-40k-960,故k- ;225,(1)1,ykxxy125当直线l与圆C相切时,有-40k-96=0,故k=- ;当直线l与圆C相交时,有-40k-960,故k- .125125(法二)(几何法)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.设直线l与圆心C的距离为d,则d= .当dr,即 1,即k- 时,直线l与圆C相离;当d=r,即 =1,即k=- 时,直线l与圆相切;2|5|1kk2|5|1kk1252|5|1kk125当dr,即 1,即k- 时,直线l与圆相交.【点评】研究直线与圆的位置关系有两种方法:代数法和几何法,可根据题设选用适当的方法.2|5|1kk125变式训练1已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).【解析】(1)l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.∵m∈R,∴由 得 即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|= 5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l与圆C恒交于两点.270,40xyxy3,1.xy5(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=- ,得kl=2,∴l的方程为2x-y-5=0.12(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程.1.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小;(2)代数法:讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数.注意:两种方法中优先考虑使用几何法.2求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法:(1)几何法:当斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程;(2)代数法:当斜率存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出.