2013届高三数学二轮复习课件：4.2数列的应用

专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)该部分易出解答题，相对较难，通常与函数、不等式等知识相结合，综合性较强、难度较大，且往往为压轴题．近几年的模拟试题、高考题中常出现以高等数学中的矩阵为背景的“矩阵数列”；与解析几何相结合的“点列”问题，成为考题一大靓点，备受命题者的青睐，望同学们在二轮复习中多加留意，发现其解题规律以提高解题能力．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)1．数列是高数学的重要内容，也是高考的热点．纵观近几年高考，关于数列的考查有以下三方面内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列的概念、公式、性质等；二是数列与其它知识的交汇，如：与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率，分期付款等数列的模型．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)2．解数列型应用题的关键是建立有关等差数列、等比数列或递推数列的模型，再综合运用数列的有关知识去解决问题．凡涉及到利息、产量、降(升)价、繁殖与增长率或降低率有关的问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等与月(年)份有关的实际问题，可考虑转化为相应的数列问题解决．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[例1](2011·海南三模)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立，设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)(文)设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci·ci＋10的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数，令cn＝1－aan(n为正整数)，求数列{cn}的变号数．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[分析](1)由①②两个条件可以确定函数f(x)的解析式；(2)根据数列中an与Sn的关系即可求出{an}的通项公式；(3)(文)准确理解变号数的概念；(理)具体求出Tn后，问题等价于m(Tn－n)min.(理)设bn＝(3)an＋5，cn＝6b2n＋bn＋1－bnbnbn＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若Tnn＋m(n∈N*，n≥2)恒成立，求实数m的取值范围．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[解析](1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a2－4a＝0⇒a＝0或a＝4.当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上单调递减，故存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立；当a＝0时，函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故不存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立．综上，a＝4，故f(x)＝x2－4x＋4.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2)由(1)可知，Sn＝n2－4n＋4.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5.又a1＝1不满足上式，故an＝1n＝12n－5n≥2.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(3)(文)由条件可知cn＝－3，n＝1，1－42n－5，n≥2.当n≥2时，令cn·cn＋10⇒2n－92n－5·2n－72n－30⇒32n52或72n92⇒n＝2或n＝4.又∵c1＝－3，c2＝5，∴n＝1时，也有c1·c20.综上可得数列{cn}的变号数为3.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(理)∵bn＝(3)an＋5＝27n＝13nn≥2，∴b1＝27，b2＝9，c1＝18－227.当n≥2时，cn＝6×32n＋3n＋1－3n3n×3n＋1＝2＋13n－13n＋1.Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝c1＋2(n－1)＋(132－13n＋1)专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)＝18－227＋2n－2＋19－13n＋1＝16＋127＋2n－13n＋1n＋m对n∈N*，n≥2恒成立，可转化为m16＋127＋n－13n＋1对n∈N*，n≥2恒成立．因为g(n)＝16＋127＋n－13n＋1是关于n的增函数，故当n＝2时，取最小值18.故m18.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[评析](1)由于数列是特殊的函数，因此当以函数形式给出数列时，应转化为an与n的关系．(2)数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2011·广东惠州)已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f12＝－1，且满足x，y∈(－1,1)时，有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，数列{xn}中，x1＝12，xn＋1＝2xn1＋x2n.(1)证明：f(x)在(－1,1)上为奇函数；(2)求数列{f(xn)}的通项公式；(3)求证：1fx1＋1fx2＋…＋1fxn－2n＋5n＋2.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[解析](1)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上为奇函数．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2)f(x1)＝f12＝－1，f(xn＋1)＝f2xn1＋x2n＝fxn＋xn1＋xn·xn＝2f(xn)，∴fxn＋1fxn＝2，即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(xn)＝－2n－1.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(3)1fx1＋1fx2＋…＋1fxn＝－1＋12＋122＋…＋12n－1＝－1－12n1－12＝－2－12n－1＝－2＋12n－1－2，而－2n＋5n＋2＝－2＋1n＋2＝－2－1n＋2－2.∴1fx1＋1fx2＋…＋1fxn－2n＋5n＋2.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[例2]已知数列{an}的各项都是正数，且满足a0＝1，an＋1＝12an(4－an)，n∈N.(1)证明：anan＋12，n∈N；(2)求数列{an}的通项公式an.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[分析]由a0＝1，an＋1＝12an(4－an)得：a1＝12a0(4－a0)＝32＝2×21－121，a2＝12a1(4－a1)＝158＝2×23－123，a3＝12a2(4－a2)＝255128＝2×27－127，…由此可推测an＝22n－122n－1，即2n＝log222－an，因此可推测数列{log222－an}为公比为2的等比数列．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[解析](1)证明：a0＝1，an＋1＝12an(4－an)＝－12a2n＋2an＝－12(an－2)2＋22，则an2，n∈N.又an＋1－an＝12an(4－an)－an＝－12a2n＋an＝－12(an－1)2＋12由0an2知，an＋1－an0，即an＋1an.综上可知，anan＋12.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2)解：由log222－an＋1log222－an＝log222－12an4－anlog222－an＝2，数列{log222－an}为等比数列，其公比为2，又log222－a0＝1，则log222－an＝log222－a02n＝2n，整理得an＝22n－122n－1.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[评析]先做第(2)问，求出数列{an}的通项公式，然后根据数列{an}的通项公式再证第(1)问anan＋12，n∈N，可谓构思新颖，思路独特．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2011·石家庄检测)已知数列{an}满足：Sn＋Sn－1＝ta(t0，n≥2)，且a1＝0，n≥2时，an0.其中Sn是数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若对于n≥2，n∈N*，不等式1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋12恒成立，求t的取值范围．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[解析](1)依题意，Sn＋Sn－1＝ta2nn≥2①Sn－1＋Sn－2＝ta2n－1n≥3②①－②得an＋an－1＝t(a2n－a2n－1)(n≥3)，由已知得an＋an－10，故an－an－1＝1t(n≥3)，由a1＝0，S2＋S1＝ta22，得a2＝ta22，∴a2＝0(舍)或a2＝1t.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)即数列{an}从第二项开始是首项为1t，公差为1t的等差数列．∴an＝n－1t(n≥2)，又当n＝1时，a1＝1－1t＝0，满足上式，∴an＝n－1t(n∈N*)．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2)设Tn＝1a2a3＋1a3a4＋…＋1anan＋1＝t21×2＋t22×3＋t23×4＋…＋t2n－1×n＝t21－1n，要使Tn2对于n≥2，n∈N*恒成立，只要Tn＝t21－1nt2≤2成立即可，而an＝n－1t0，即t0，∴0t≤2.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[例3](2011·山东滨州一模)已知曲线C：xy＝1，过C上一点An(xn，yn)作一斜率为kn＝－1xn＋2的直线交曲线C于另一点An＋1(xn＋1，yn＋1)，点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1＝117.(1)求xn与xn＋1的关系式；(2)令bn＝1xn－2＋13，求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝3n－λbn(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1cn成立．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[分析](1)由直线方程点斜式建立xn与yn关系，而(xn，yn)在曲线xy＝1上，有xnyn＝1，消去yn得xn与xn的关系；(2)由定义证bn＋1bn为常数；(3)转化为恒成立的问题解决．专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)[解析](1)过点An(xn，yn)的直线方程为y－yn＝－1xn＋2(x－xn)，联立方程y－yn＝－1xn＋2x－xnxy＝1，消去y得1xn＋2x2－yn＋xnxn＋2x＋1＝0.解得x＝xn或x＝xn＋2xn.由题设条件知xn＋1＝xn＋2xn.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(2)证明：bn＋1bn＝1xn＋1－2＋131xn－2＋13＝1xn＋2xn－2＋131xn－2＋13＝xn2－xn＋131xn－2＋13＝3xn＋2－xn32－xn3＋xn－23xn－2＝－2.∴数列{bn}是等比数列，b1＝1x1－2＋13＝－2，q＝－2.专题四数列《走向高考》二轮专题复习·数学(新课标版)(3)由(2)知，bn＝(－2