三维设计2014届高考数学理总复习课件第八章：第八节 曲线与方程

[知识能否忆起]一、曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系；(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式——列出动点P所满足的关系式；这个方程的解是曲线上的点(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．三、曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．12(,)0,(,)0FxyFxy[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：方程变为x(x＋y－1)＝0，则x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.答案：C答案：D2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.3．(教材习题改编)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1.则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案：D4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．解析：由|PA|＝|y|＋1，即x－32＋y－42＝|y|＋1.当y0时得x2－6x－10y＋24＝0.当y≤0时得(x－3)2＋15＝6y，无轨迹．答案：x2－6x－10y＋24＝0(y0)5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一点，点A在圆周上．把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当A点运动时，点P的轨迹是________．解析：由条件知折痕CD垂直平分AQ，故|PQ|＋|PO|＝|PA|＋|PO|＝|OA|＞|OQ|，故点P的轨迹是以O，Q为焦点的椭圆．答案：椭圆1.曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．2．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．直接法求轨迹方程[例1](2012·郑州模拟改编)在△ABC中，顶点A(－1，0)，B(1,0)，动点D，E满足：①DA＋DB＋DC＝0；②|EC|＝3|EA|＝3|EB|；③DE与AB共线．求△ABC顶点C的轨迹方程．[自主解答]设C(x，y)，由DA＋DB＋DC＝0得动点D的坐标为x3，y3，由|EA|＝|EB|得动点E在y轴上，再结合DE与AB共线，得动点E的坐标为0，y3.由|EC|＝3|EA|得x2＋y－y32＝3·1＋y29，整理得y227＋x23＝1.因为△ABC的三个顶点不共线，所以y≠0，故△ABC顶点C的轨迹方程为y227＋x23＝1(y≠0)．本例条件变为“△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，”问题不变．解：如图，|AD|＝|AE|＝8.|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|.则|CA|－|CB|＝8－2＝6.由双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x29－y216＝1(x＞3)直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．1．(2012·襄阳模拟)平面内动点P(x，y)与A(－2,0)、B(2,0)两点连线的斜率之积为14，动点P的轨迹方程为()A.x24＋y2＝1B.x24－y2＝1C.x24＋y2＝1(x≠±2)D.x24－y2＝1(x≠±2)解析：由题意知yx＋2×yx－2＝14，化简得x24－y2＝1且x≠±2.答案：D[例2](2012·海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线定义法求轨迹方程[自主解答]如图1，令定点A为定圆的圆心，动点M为定圆半径AP的中点，故|AM|＝|MP|，此时M的轨迹为一个圆，圆心为A，半径为AM，故A可能．如图2，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，在F1P上截|MP|＝|MA|，∵|PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r＞|F1A|，由椭圆的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的椭圆，故B可能．图1图2如图3，以F1为定圆的圆心，F1P为其半径，延长F1P到点M，使得|MP|＝|MA|，则有|MF1|－|PM|＝r，∴|MF1|－|MA|＝r＜|F1A|，由双曲线的定义可知，M的轨迹是以F1、A为焦点的双曲线的右支，故C可能．如图4，定点A在定圆F上，则满足题意的点M的轨迹是以F为端点的一条射线，故D不可能．图3图4[答案]D1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．2．(2012·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1D.4x225＋4y221＝1解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.答案:D代入法求轨迹方程[例3](2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l被C所截线段的长度．[自主解答](1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|，所以xP＝x，且yP＝54y，∵P在圆x2＋y2＝25上，∴x2＋54y2＝25，整理得x225＋y216＝1，即C的方程是x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线l的方程是y＝45(x－3)，设此直线与C的交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程x225＋y216＝1得x225＋x－3225＝1，化简得x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412，∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将P的坐标转移到Q的方程中，整理即可得P的轨迹方程．3．(2012·河南模拟)已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则x＝x0＋22，y＝y02.所以x0＝2x－2，y0＝2y.，由于y20＝x0，所以4y2＝2x－2.即y2＝12(x－1)．答案：DA．y2＝2(x－1)B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1D．y2＝12(x－1)[典例](2011·湖北高考改编)平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a,0)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系．[解]设动点为M，其坐标为(x，y)，当x≠±a时，由条件可得kMA1·kMA2＝yx＋a·yx－a＝y2x2－a2＝m，即mx2－y2＝ma2(x≠±a)，又A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2－y2＝ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2－y2＝ma2.当m＜－1时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，C是圆心在原点的圆；当－1＜m＜0时，曲线C的方程为x2a2＋y2－ma2＝1，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为x2a2－y2ma2＝1，C是焦点在x轴上的双曲线．[题后悟道]由含参数的方程(二次)讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数的符号；二是二次项系数的大小，然后根据各种情况进行讨论．针对训练(2012·湖北高考)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．Z当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．解：如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x20＋y20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋y2m2＝1(m＞0，且m≠1)．因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m2，0)，(1－m2，0)；当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m2－1)，(0，m2－1)．教师备选题（给有能力的学生加餐）1．定长为3的线段AB两端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且AM＝2MB.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设过F(0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于G、H两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DG，DH为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解：(1)设A(x1,0)，B(0，y1)，M(x，y)，则x＝x11＋2，y＝2y11＋2，得x1＝3x，y1＝32y.|AB|＝3＝3x2＋32y2，即y24＋x2＝1.(2)存在满足条件的点D.设满足条件的点D(0，m)，则0≤m≤3.设l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，代入轨