2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件：3-2-5 利用向量知识求距离

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章空间向量与立体几何第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-13．2立体几何中的向量方法第三章第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章第5课时利用向量知识求距离第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习课堂典例讲练方法规律总结课后强化作业课堂巩固训练第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课程目标解读第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．理解空间中各种距离的概念．2．掌握运用向量方法求各种空间距离．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．空间中的距离主要包括点点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距．2．新教材提倡在立体几何中使用向量方法，而向量法求距离能有效地简化运算，下面讨论如何用向量法求距离．注：新课程标准中，对距离问题没有提到，可见要求很低，但有关体积的运算要求会求，且在教材105页涉及距离的讨论问题．高考也有距离问题，故加上这一节讨论，供学生学习参考，重点放在点面距、两点距上，只了解向量法求距离的基本思路即可．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(1)两点间的距离(即线段的长度)．求A、B两点间的距离一般用|AB|＝|AB→|2＝AB→·AB→求解．(2)求点到平面的距离第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如图所示，已知点B(x0，y0，z0)，平面α内一点A(x1，y1，z1)，平面α的一个法向量n，直线AB与平面α所成的角为φ，θ＝〈n，AB→〉，则sinφ＝|cos〈n，AB→〉|＝|cosθ|.由数量积的定义知，n·AB→＝|n||AB→|cosθ，∴点B到平面α的距离d＝|AB→|·sinφ＝|AB→|·|cosθ|＝|n·AB→||n|.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(3)求异面直线间的距离如图，若CD是异面直线a、b的公垂线，A、B分别为a、b上的任意两点，令向量n⊥a，n⊥b，则n∥CD.则由AB→＝AC→＋CD→＋DB→得，AB→·n＝AC→·n＋CD→·n＋DB→·n，∴AB→·n＝CD→·n.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1∴|AB→·n|＝|CD→|·|n|，∴|CD→|＝|AB→·n||n|.∴两异面直线a、b间的距离为d＝|AB→·n||n|.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(4)求直线到平面的距离设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则AC→∥n，∵AB→·n＝(AC→＋CB→)·n＝AC→·n，∴|AB→·n|＝|AC→|·|n|.∴直线a到平面α的距离d＝|AC→|＝|AB→·n||n|.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(5)求两平行平面间的距离①用公式d＝|AB→·n||n|求，n为两平行平面的一个法向量，A、B分别为两平面上的任意两点．②转化为点面距或线面距求解．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点难点展示第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点：距离的基本概念，用向量法求两点间的距离和点到平面的距离．难点：点到平面的距离．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1学习要点点拨第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．在几何学中，我们经常遇到要计算两个图形之间的距离．一般地，我们把一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．空间两几何元素(点、直线、平面)之间的距离，除两点间距离及点线距外都具有相同的表达形式，即d＝|AB→·n||n|.其中A、B是分别在两个几何元素上的点，n是平面的法向量(几何元素中含平面时)，或与两异面直线都垂直的向量(几何元素为两异面直线时)，明确了原理，求距离问题就很容易掌握．3．求距离还常采用等积变换法或归结为解直角三角形．既然分别在两几何元素上的点是任意的，实际取点时，要取方便，容易计算的．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂典例讲练第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向两点间的距离(线段的长度)[例1]已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC′的长．思路方法技巧第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]因为AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，所以|AC′→|2＝(AB→＋AD→＋AA′→)·(AB→＋AD→＋AA′→)＝|AB→|2＋|AD→|2＋|AA′→|2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.因此|AC′→|＝85.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0a2)．(1)求MN的长；(2)求当a为何值时，MN的长最小．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则F(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,1,1)．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1AM→＝(1－a2)AC→＝2－a2(0,1,1)．BN→＝a2BF→＝(a2，－a2，0)，AN→＝AB→＋BN→＝(a2，2－a2，0)，MN→＝AN→－AM→＝12(a,0，a－2)，∴|MN→|＝a－222＋12(0a2)．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(2)由|MN→|＝a－222＋12，∴当a＝22时，|MN→|min＝22.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向异面直线间的距离[例2]正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图建立坐标系，第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)．∴AB1→＝(0,1,1)，A1C1→＝(－1,1,0)．设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且AN→＝λAB1→＝(0，λ，λ)，A1M→＝uA1C1→＝(－u，u,0)，则MN→＝MA1→＋A1A→＋AN→＝－(－u，u,0)＋(0,0，－1)＋(0，λ，λ)＝(u，λ－u，λ－1)．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1所以MN→·A1C1→＝0MN→·AB1→＝0，即λ－2u＝02λ－u－1＝0，解得λ＝23u＝13.∴MN→＝(13，13，－13)，|MN→|＝33.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[点评]求异面直线l与m之间的距离．(一)可以找出其公垂线转化为求公垂线段的长度．(二)可以设与异面直线都垂直的向量为n，l、m的方向向量e1，e2，则由n·e1＝0n·e2＝0，可求出n，然后在l、m上各取一个已知点A、B，则距离d＝|AB→·n||n|，一般后一种方法比前一种方法要简便．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为________．[答案]217第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图，分别以AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，N(1,0，12)，M(12，0,1)，∴AM→＝(12，0,1)，CN→＝(0，－1，12)，第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1设n＝(x，y，z)，且n⊥AM→，n⊥CN→，∴n·AM→＝12x＋z＝0，n·CN→＝－y＋12z＝0，∴x＝－2z，y＝12z.取z＝2，则n＝(－4,1,2)，∴AM与CN的距离d＝|AC→·n||n|＝217.第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向点面距[例3]已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．建模应用引路第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]以C为原点，直线CD、CB、CG分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，所以GE→＝(2,4，－2)，GF→＝(4,2，－2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则n·GE→＝2x＋4y－2z＝0，n·GF→＝4x＋2y－2z＝0.令x＝1，得y＝1，z＝3，所以n＝(1,1,3)，而EB→＝(－2,0,0)，所以d＝|n·EB→||n|＝21111即为所求．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[点评]求点面距时，(一)可由点P向平面作垂线，找出垂足P′，转化为求线段长PP′；(二)可用等积法求解；(三)设平面α的法向量为n，平面α内已知点A，则点P到平面α的距离d＝|PA→·n||n|；(四)可转化为线面距，利用过已知点与已知平面平行的直线上任一点到平面距离都相等求解．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为________．[答案]63第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(0，12，0)，E(1，12，1)，B(1,1,0)．第三章3.2第5课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1∴AE→＝(0，12，1)，AF→＝(－1，12，0)．设平面AEC1F的法向量为n＝(1，λ，μ)，则n·AE→＝0，n·AF→＝0.∴12λ＋μ＝0，－1＋12λ＝0，∴λ＝2，μ＝－1.第三章3.2第5课时成才之路·高中