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专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【考情报告】专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【考向预测】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考数学中有着十分重要的地位．由于四川卷2013年之前都是大纲版(大家可以分析表中的2011、2012大纲版卷与2013新课标卷的区别)，2013卷明显对数列考查的难度有所降低，就知识点上对等差数列、等比数列以及求和仍然是重点，但是在考查学生能力方面没有降低．我们相信2014年的高考题会沿袭2013新课标卷的思想，在平时复习与训练中强调基本方法与基本题型．就考查方向上我们要注意以下方面：专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)一是等差数列、等比数列的基本量计算；二是能熟练掌握Sn与an的关系；三是对等差数列与等比数列乘积式求和，我们要熟练使用“错位相减法”；四是裂项求和问题．另外我们也要注意在知识交汇点——如不等式、函数、导数、三角等方面考查数列知识的应用．【问题引领】1．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S6＝36，Sn＝324，Sn－6＝144(n＞6)，则n等于()．A．16B．17C．18D．19专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【解析】∵S6＋(Sn－Sn－6)＝6(a1＋an)＝36＋(324－144)＝216，∴a1＋an＝36.又∵Sn＝n（a1＋an）2＝324，∴n＝18.【答案】C2．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【解析】设数列{an}的公差为d，那么(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋8×（8－1）2×2＝64.【答案】64专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)3．已知等比数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝________．【解析】等比数列{an}中，a1a4＝a2a3＝－98，那么1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝a1＋a4a1a4＋a2＋a3a2a3＝a1＋a2＋a3＋a4a2a3＝－53.【答案】－53专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)4．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．【解析】an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，所以ann＝33n＋n－1.设f(n)＝33n＋n－1，由f′(n)＝－33n2＋1＞0，得f(n)在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减，专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)因为n∈N＋，且a55＝535，a66＝636＝212，所以ann的最小值为a66＝212.【答案】2125．在数列{an}中，已知a1＝14，an＋1an＝14，bn＋2＝3log14an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等差数列；专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(3)设数列{cn}满足cn＝an·bn，求{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)∵an＋1an＝14，∴数列{an}是首项为14，公比为14的等比数列，∴an＝(14)n(n∈N*)．(2)∵bn＝3log14an－2，∴bn＝3log14(14)n－2＝3n－2，∴bn＋1－bn＝(3n＋1)－专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(3n－2)＝3，∴数列{bn}是公差d＝3的等差数列．(3)由(1)(2)知，an＝(14)n，bn＝3n－2，n∈N*，∴cn＝(3n－2)×(14)n(n∈N*)，∴Sn＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n－5)×(14)n－1＋(3n－2)×(14)n，①专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)于是14Sn＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n－5)×(14)n＋(3n－2)×(14)n＋1，②由①－②得34Sn＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n]－(3n－2)×(14)n＋1＝12－(3n＋2)×(14)n＋1.∴Sn＝23－3n＋23×(14)n(n∈N*)．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)6．(2013广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＜12.【解析】(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝a22－5，∴a22＝4a1＋5，又an＞0，∴a2＝4a1＋5.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)∵4Sn＝a2n＋1－4n－1，①∴4Sn－1＝a2n－4(n－1)－1(n≥2)，②由①－②得4an＝a2n＋1－a2n－4.∴a2n＋4an＋4＝(an＋2)2＝a2n＋1，an＞0.∴an＋2＝an＋1，∴an＋1－an＝2.∴当n≥2时，数列{an}是以a2为首项，2为公差的等差数列．又a2，a5，a14成等比数列．∴(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，∴a2＝3.由(1)可知a1＝1，∵a2－a1＝3－1＝2，专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n－1.(3)由(2)知1anan＋1＝1（2n－1）（2n＋1）＝12(12n－1－12n＋1)，∴1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)＜12.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【诊断参考】1．等差数列与其求和公式是考试的重点，一方面我们应该熟悉公式，同时又要熟练运用公式的变形，很多学生解答本题时机械地套用公式，这样计算量大，如果我们能够发现S6＋(Sn－Sn－6)＝S6＋(an－5＋an－4＋…＋an)＝6(a1＋an)，可简化运算，我们要注意高考数列题的“小、巧、活”的特点．2．本题是等差数列与等比数列的基本题，我们按基本知识求解就可以．3．等比数列的基本量的计算是重点，我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系求解，本题我们发现a1a4＝专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)a2a3，后面通分后整体处理使问题迎刃而解，如果本题死套公式去求解，也会由于变量难以处理而不好解决．4．本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数，利用导数判断函数单调性，考查了综合运用知识解决问题的能力．同学们往往对数列的函数性理解不深刻或对利用导数解决这类题不熟练．5．本题的第一问比较基础，是求等比数列的通项；第二问的关键是有些同学对对数知识不熟练从而产生错误；第三问是我们熟悉的一个等差数列与等比数列乘积式求和，我们只要熟悉“错位相减法”即可，但在实践中许多学生由于计算能力不强而导致错误百出，所以我们一定要把这个重点专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)突破．6．数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，第(1)(2)两问是已知Sn求an，{an}是等差数列，第(3)问只需裂项求和即可．本题的易错点在分成n＝1，n≥2来做后，不会求a1，没有证明a1也满足通项公式．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【知识整合】1．Sn与an的关系在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列的公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列，则专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2.(2)对正整数m，n，p，q，有am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.3．等比数列的公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝a1qn－1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)对正整数m，n，p，q，有aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，aman＝a2p⇔m＋n＝2p.4．等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；若等比数列的前n项和为Sn，则当Sm不等于0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．5．在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1＞0，d＜0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sm取最大值．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)当a1＜0，d＞0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sm取最小值．在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用．6．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加法、累积法等．【考点聚焦】热点一：等差数列的通项、求和及其性质专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)在等差数列问题中，最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a5，a13成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn等于()．A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n【分析】根据等差数列与等比数列的概念列出等式，从专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)而求解．【解析】根据a1，a5，a13成等比数列得(2＋4d)2＝2(2＋12d)，解得d＝12，故其前n项和只能是选项A.注意等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn，其中A＝d2.【答案】A【归纳拓展】要解决等差数列的前n项和问题，一般只要寻找首项a1与公差d及an、Sn之间的关系，然后求解．变式训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)【解析】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴4a1＋4×32d≥10，5a1＋5×42d≤15，即2a1＋3d≥5，a1＋2d≤3，∴5－3d2≤a1≤3－2d，∴5－3d2≤3－2d，∴d≤1，∴a4＝(a1＋2d)＋d≤3＋d≤3＋1＝4.故a4的最大值为4.【答案】4专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2013江西卷)正项数列{an}满足：a2n－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝1（n＋1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】因式分解是解题的突破口，裂项相消是求前n项和的常用方法．【解析】(1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)(2)由an＝2n，bn＝1（n＋1）an，则bn＝12n（n＋1）＝12(1n－1n＋1)，Tn＝12(1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1)＝12(1－1n＋1)＝n2（n＋1）.【归纳拓展】在含有二元的二次等式中，确定主元是正确因式分解的前提，在进行裂项时，善于观察，善于总结是解决这类问题的主要手段．专题2热点重点难点专题透析·数学(文科)变式训练2已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2an－1－1.(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列{1an－1}是等差数列，并求出{an}的通项公式．【解析】(1)∵an·an－1＝2an－1－1，又