2014・新课标高考总复习・数学10-9离散型随机变量的均值与方差、正态分布

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、离散型随机变量的均值与方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.1．均值称E(X)＝为离散型随机变量X的或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn均值平均取值水平抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．方差称D(X)＝为这个离散型随机变量X的方差，它反映了离散型随机变量取值相对于的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根DX叫做离散型随机变量X的标准差．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn期望抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、常见分布的均值、方差1．若X服从二点分布，则E(X)＝，D(X)＝.2．若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝.3．若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.ppqnpnpqnMN抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）三、正态分布1．正态变量服从的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．3．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的，并且关于直线对称；(2)曲线在时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；正态分布2．正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝12π·σe－x－μ22σ2，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞)．上方x＝μx＝μ抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(3)曲线的形状由参数σ确定，σ，曲线越“矮胖”；σ，曲线越“高瘦”．越大越小抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散．反之，方差越小，随机变量的取值越集中．2．服从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量不同．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)已知X的分布列则在下列式子中①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13，正确的个数是()A．0B．1C．2D．3抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解析：由E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，故①正确．由D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，知②不正确．由分布列知③正确．答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年杭州模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E(ξ)的值为()A.43B.119C．1D.89解析：由题意可知，ξ服从二项分布B2，23，所以E(ξ)＝2×23＝43.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(2013年福州质检)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5X6)＝()A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718答案：B解析：由题意知，P(5X6)＝12[P(2X≤6)－P(3X≤5)]＝0.9544－0.68262＝0.1359.故选B.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(课本习题改编)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件．若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.解析：X＝0时，P＝C27C210＝2145，X＝1时，P＝C17C13C210＝2145，X＝2时，P＝C23C210＝345.∴E(X)＝0×2145＋1×2145＋2×345＝35.答案：35抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）5．(2013年合肥模拟)某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．答案：10解析：由题意知，P(ξ110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一离散型随机变量的均值[例1](2013年南昌模拟)某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同)，选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X.12抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(1)求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；(2)请写出X的分布列，并求X的均值．[解析](1)设选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号为事件A；则P(A)＝2C12C13＋C12C12C23C47＝2435.(2)X的所有可能的取值为0，m,2m,3m.则P(X＝0)＝C03120×123＝18，P(X＝m)＝C13121×122＝38，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X的分布列为：于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的均值是P(X＝2m)＝C23122×121＝38，P(X＝3m)＝C33123×120＝18.E(X)＝0×18＋m×38＋2m×38＋3m×18＝1.5m.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）在本例1的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解析：要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m150，所以m100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二离散型随机变量的方差[例2](2013年深圳模拟)某投资公司在2012年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)[解析](1)若按“项目一”投资，设获利ξ1万元，则ξ1的分布列为∴E(ξ1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）若按“项目二”投资，设获利ξ2万元，则ξ2的分布列为：∴E(ξ2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D(ξ1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．D(ξ2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000，∴E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)D(ξ2)，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)假设n年后总资产可以翻一番，依题意：∴大约4年后，即在2015年年底总资产可以翻一番．1000×1＋2001000n＝2000，即1.2n＝2，两边取对数得：n＝lg22lg2＋lg3－1＝0.30102×0.3010＋0.4771－1≈3.8053.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2013年贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探