2014・新课标高考总复习・数学3-5两角和与差的正弦、余弦和正切公式

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝.其公式变形为：tanα＋tanβ＝；tanα－tanβ＝；tanαtanβ＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβtan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋β抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.其公式变形为：sin2α＝；cos2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1－cos2α21＋cos2α2抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)sin33°sin27°－cos33°cos27°的值是()A.12B.32C．－12D．－32解析：原式＝－(cos33°cos27°－sin33°sin27°)＝－cos60°＝－12.答案：C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年郑州模拟)已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tan2x＝()A.724B．－724C.247D．－247解析：由条件知x∈－π2，0，sinx＝－1－cos2x＝－35，∴tanx＝sinxcosx＝－34，tan2x＝2tanx1－tan2x＝－247.答案：D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．(2011年高考福建卷)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.答案：D4．(课本习题改编)已知sinα＝35且α∈π2，π，则sin2α－cos2α等于________．解析：∵sinα＝35且α∈π2，π，∴cosα＝－45，∴sin2α－cos2α＝2sinαcosα－(2cos2α－1)＝－3125.答案：－3125抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）5．(2013年珠海模拟)若sin(π－α)＝45，α∈0，π2，则sin2α－cos2α2的值等于________．解析：∵sin(π－α)＝45，∴sinα＝45.又∵α∈0，π2，∴cosα＝35.∴sin2α－cos2α2＝2sinαcosα－1＋cosα2＝2×45×35－1＋352＝425.答案：425抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一给角求值问题[例1](2012年高考重庆卷)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32[解析]利用两角和的正弦公式化简．原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.[答案]C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2013年唐山模拟)若β＝α＋30°，则sin2α＋cos2β＋sinαcosβ等于()A.14B.34C．cos2βD．sin2α解析：将β＝α＋30°代入sin2α＋cos2β＋sinαcosβ，整理得sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°)2＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα－12sinα＋sinα抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα＝sin2α＋32cosα2－12sinα2＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34(sin2α＋cos2α)＝34.答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二给值求值问题[例2](1)(2012年高考辽宁卷)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C.22D．1(2)(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．[解析](1)利用二倍角公式进行化简求值．因为sinα－cosα＝2，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)化2α＋π12为2α＋π6－π4是关键．∵α是锐角且cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.[答案](1)A(2)17250抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年哈师大附中月考)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝()A.2525B.255C.2525或255D.55或525解析：依题意得sinα＝1－cos2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45；又α、β均为锐角，因此0αα＋βπ，cosαcos(α＋β)，注意到4555－45，所以cos(α＋β)＝－45.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525，选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三三角变换的简单应用[例3](2012年高考广东卷)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析](1)由T＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）得2cos155α＋53π＋π6＝－65，2cos155β－56π＋π6＝1617，整理得sinα＝35，cosβ＝817.∵α，β∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝45，sinβ＝1－cos2β＝1517.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本例中条件若变为“f5α＋5π3＝－65，cos(α－β)＝1213且αβ，试求sinβ的值．”解析：由f5α＋5π3＝－65，得sinα＝35.又cos(α－β)＝1213，αβ，∴0α－βπ2，∴sin(β－α)＝－1－12132＝－513.cosα＝45.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)·cosα＋cos(β－α)sinα，∴sinβ＝－513×45＋1213×35＝1665.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【思想方法】特殊与一般思想在三角变换中的应用【典例】(2012年高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋co