2014・新课标高考总复习・数学4-1平面向量的概念及线性运算

第四章平面向量、复数抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第一节平面向量的概念及线性运算抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、向量的有关概念及表示方法抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）二、向量的线性运算抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）三、平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使.[疑难关注]1．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．2．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．a＝λb抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：A1．(课本习题改编)D是△ABC的边BA上的中点，则向量CD→等于()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→解析：如图，CD→＝CB→＋BD→＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：B2．(2013年潍坊模拟)在四边形ABCD中，AB→＝DC→，且|AB→|＝|BC→|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：由AB→＝DC→，且|AB→|＝|BC→|知，四边形ABCD为平行四边形且邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：C3．(2012年高考四川卷)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：利用向量相等与共线知识解决．a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选择项易知C满足题意．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(课本习题改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.解析：由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有2k＝1，λ＝－k，∴k＝12，λ＝－12.答案：－12抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）5．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________.解析：由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，又AM→＝a＋12b，所以MN→＝AN→－AM→＝34(a＋b)－(a＋12b)＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一平面向量的有关概念[例1](2013年湖州模拟)给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[答案]3[解析]①中，因为向量AB→与BA→为相反向量，所以它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误．⑤因为共线向量是方向相同或相反的向量，所以若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：A1．已知下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④若四边形ABCD是平行四边形，则AB→＝CD→，BC→＝DA→，其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①不正确，若a与b是方向相反的单位向量，则a≠b；②正确，向量相等有传递性；③不正确，若b＝0，则对于不共线的向量a，c也有a∥0，0∥c；④不正确，由图可知AB→≠CD→，BC→≠DA→，故真命题的个数为1，选A.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二向量的线性运算[例2](1)(2012年高考全国卷)△ABC中，AB边的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)(2013年北京海淀模拟)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝()A.12AB→＋12AD→B．－12AB→－12AD→C．－12AB→＋12AD→D.12AB→－12AD→抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析](1)利用向量的三角形法则求解．如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝5.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝455.∴AD→＝45AB→＝45(a－b)＝45a－45b.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[答案](1)D(2)D(2)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→，因为E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的中点，所以CF→＝12CB→.所以EF→＝EC→＋CF→＝12DC→＋12CB→＝12AB→＋12DA→＝12AB→－12AD→.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）在本例(2)条件下试用AB→，AD→表示AE→，FA→.解析：AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12AB→.FA→＝FB→＋BA→＝12CB→－AB→＝12DA→－AB→＝－12AD→－AB→.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[答案]2考向三共线向量[例3](2013年德州模拟)如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．[解析]AO→＝12(AB→＋AC→)＝m2AM→＋n2AN→.∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）3．设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解析：(1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又它们有公共点，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.即k＝±1时，ka＋b和a＋kb共线．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【易错警示】忽略0的特殊性致误【典例】(2013年临沂调研)下列命题正确的是()A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB→＋BC→＋CA→＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【错解一】a,b共线，必然是有且只有一个实数λ使b＝λa，故选A.【错解二】首尾相连始终如一，在△ABC中，AB→，BC→，CA→围成了一个封闭图形，故AB→＋BC→＋CA→＝0.故选B.【错解三】当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立；当a与b不共线时，两个等号都不成立．故两个等号不可能同时成立，故选C.【错因】错解一忽视了a≠0这一条件，错解二忽视了0与0的区别，错解三忽视了0的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【答案】D【防范指南】判断与向量有关的基本概念问题，首先考虑向量为零向量时是否成立，这样可快速作出判断．【解析】∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴λ－1＝0，1＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不平行，故选D.抓主干双基知能优化菜单悟真题