2014・新课标高考总复习・数学4-2平面向量基本定理及坐标表示

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第二节平面向量基本定理及坐标表示抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）一、平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个的向量，那么该平面内的任一向量a，的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．不平行存在唯一抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）在坐标平面xOy内，任作一向量AB＝a，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向二、平面向量的正交分解及坐标表示1．平面向量的正交分解如果基底的两个基向量e1，e2，则称这个基底为，在下分解向量，叫做正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．e1，e2分别是与x轴和y轴同方向的．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，显然，0＝，e1＝，e2＝．互相垂直正交基底正交基底单位向量(0,0)(1,0)(0,1)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变，即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．平面向量基本定理的理解(1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底；(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的．(3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．3．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(2013年广州模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于()A．(－2，－1)B．(2,1)C．(3，－1)D．(－3,1)解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)，故选A.答案：A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(课本习题改编)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b答案：B解析：设c＝xa＋yb，则x－y＝4，x＋y＝2，∴x＝3，y＝－1.∴c＝3a－b.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：B3．(2011年高考广东卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2解析：a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝________.解析：∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．答案：(7,3)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：－45．(课本习题改编)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设AB→＝a，AD→＝b.若MN→＝ma＋nb，则nm＝________.解析：MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－14a－b＋12a＝14a－b，∴m＝14，n＝－1.∴nm＝－4.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一平面向量基本定理[例1](2013年厦门质检)如图，△ABC中，AD＝2DB，AE＝12EC，BE与CD相交于点P，若AP→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y＝________.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析]由题可知AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋λDC→＝AD→＋λ(BC→－BD→)＝23AB→＋λ(AC→－AB→－13BA→)＝23－23λAB→＋λAC→，又AP→＝AE→＋EP→＝AE→＋μEB→＝AE→＋μ(CB→－CE→)＝13AC→＋μAB→－AC→－23CA→＝μAB→＋13－13μAC→，解得λ＝17，故AP→＝47AB→＋17AC→，所以x＋y＝57.[答案]57抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本例条件若变为“AD＝2DB，CD→＝13CA→＋λCB→”求λ.解析：由图知CD→＝CA→＋AD→，①CD→＝CB→＋BD→，②且AD→＋2BD→＝0.∴①＋②×2得3CD→＝CA→＋2CB→，∴CD→＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二平面向量的坐标运算[例2](1)(2013年沈阳三校模拟)向量AB→与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|AB→|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标是()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10)D．(7，－6)(2)(2013年烟台模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝()A．(2,4)B．(3,5)C．(－3，－5)D．(－2，－4)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[答案](1)D(2)C[解析](1)由题意，设AB→＝(3a，－4a)(a＞0)．又|AB→|＝10，∴3a2＋－4a2＝10，解得a＝2.设B(x，y)，有AB→＝(x－1，y－2)＝(6，－8)，∴x－1＝6，y－2＝－8⇒x＝7，y＝－6.故B(7，－6)．(2)AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，故BD→＝AD→－AB→＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：D1．(2013年北京西城模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是()A．(3，－1)B．(－1，－3)C．(－3，－1)D．(－1，3)解析：∵a＝(3，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(3，－3)＝－3(－1，3)，故向量c可以是(－1，3)，选D.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三平面向量共线的坐标表示[例3](2013年衡阳期末)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，解得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：D2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73解析：设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0，解得m＝－79，n＝－73.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【创新探究】平面向量基本定理的创新应用【典例】(2013年石家庄模拟)在△ABC中，AC＝6，BC＝7，cosA＝15，O是△ABC的内心，若OP→＝xOA→＋yOB→，其中0≤x≤1,0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为()A.1036B.536C.103D.203抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）【思路导析】利用平面向量基本定理，由OP→＝xOA→＋yOB→分析得出动点P的轨迹并确定覆盖的区域，然后求出面积．【解析】∵OP→＝xOA→＋yOB→，其中0≤x≤1,0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的区域是以OA，OB为邻边的平行