2014・新课标高考总复习・数学4-3平面向量的数量积及平面向量的应用

抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）第三节平面向量的数量积及平面向量的应用抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(3)求夹角问题，利用夹角公式：抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[疑难关注]1．对向量夹角的理解(1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角；(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π；(3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．2．一般地，(a·b)c≠(b·c)a，即乘法的结合律不成立．因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）1．(课本习题改编)已知i，j是互相垂直的单位向量，设a＝4i＋3j，b＝3i－4j，则a·b＝()A．25B．24C．5D．0解析：依题意得a·b＝(4i＋3j)·(3i－4j)＝12i2－12j2－7ij＝0.答案：D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年保定摸底)设向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a·b＝0，|a|＝3，|c|＝4，则|b|＝()A．5B.7C.5D．7解析：由a＋b＋c＝0得c＝－(a＋b)，又∵a·b＝0，∴c2＝[－(a＋b)]2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，∴|b|2＝|c|2－|a|2＝42－32＝7，即|b|＝7.答案：B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：C3．(课本习题改编)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角的余弦值为()A.31010B．－31010C.22D．－22解析：由已知得b＝(4,2)－2a＝(4,2)－2(1,1)＝(2,0)，∴a·b＝1×2＋1×0＝2.又|a|＝2，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝22.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）4．(2013年惠州模拟)已知点A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB→在向量CD→上的投影为________．解析：AB→＝(2,2)，CD→＝(－1,3)，设AB→和CD→的夹角为α，则向量AB→在向量CD→上的投影为|AB→|cosα＝AB→·CD→|CD→|＝－2＋610＝2105.答案：2105抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）5．(2012年高考新课标全国卷)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.解析：利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.答案：32抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向一平面向量数量积的运算[例1](1)(2012年高考辽宁卷)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．1抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析](1)通过向量的数量积的运算求解．a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.(2)解法一坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．故AB→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，AE→＝(2，1)，BF→＝(x－2，2)，∴AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x.又AB→·AF→＝2，∴x＝1.∴BF→＝(1－2，2)．∴AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解法二用AB→，BC→表示AE→，BF→是关键．设DF→＝xAB→，则CF→＝(x－1)AB→.AB→·AF→＝AB→·(AD→＋DF→)＝AB→·(AD→＋xAB→)＝xAB→2＝2x，∴x＝22.∴BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋22－1AB→.∴AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·BC→＋22－1AB→＝AB→＋12BC→BC→＋22－1AB→[答案](1)D(2)2＝22－1AB→2＋12BC→2＝22－1×2＋12×4＝2.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）本例(2)中条件变为“ABCD是边长为2的正方形，P，Q是AC，BD上的点”，试求AP→·PQ→的最大值．抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解析：记AC与BD交点为O，易知AC⊥BD.∵PQ→＝PO→＋OQ→，∴AP→·PQ→＝AP→·(PO→＋OQ→)＝AP→·PO→，而当点P在线段OC上时AP→·PO→＜0，当点P在线段AO上时，有|AP→|＋|PO→|＝2，AP→·PO→＝|AP→|·|PO→|≤|AP→|＋|PO→|22＝12，当且仅当|AP→|＝|PO→|＝22时“＝”成立．∴AP→·PQ→的最大值为12.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向二平面向量的夹角与模[例2](1)(2012年高考重庆卷)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10(2)(2013年武汉模拟)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|＝1，则向量a与c的夹角为()A．60°B．30°C．120°D．150°抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析](1)利用平面向量共线和垂直的条件求解．∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋－12＝10.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[答案](1)B(2)D(2)∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，∴|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3，∴|c|＝3.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－32，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a|·|c|＝－323×1＝－32，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）答案：B1．(2013年石家庄模拟)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为()A.π2B.π3C.π6D．π解析：∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝3，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝|CA||OA|＝3，∴∠COA＝π3，即a与a＋b的夹角为π3.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）考向三数量积研究垂直及数量积的应用[例3](1)(2012年高考安徽卷)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.(2)(2012年高考陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()A.22B.12C．0D．－1抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）[解析](1)利用向量数量积的坐标运算求解．a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，∴m＝－12.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.(2)利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.[答案](1)2(2)C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）2．(2013年东北三校联考)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则AE→·AF→＝()A.53B.54C.109D.158抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学（B·理）解析：解法一依题意，不妨设BE→＝12EC→，BF→＝2FC→，则有