(新课标)高中数学知识点大全

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-1-高中数学公式大全(文科数学)目录『第一部分』§集合……………………………………1§常用逻辑用语…………………………2§不等式…………………………………3『第二部分』§函数性质………………………………5§二次函数………………………………6§指数函数………………………………7§对数函数………………………………8§幂函数…………………………………9§函数与方程……………………………9§导数……………………………………9『第三部分』§三角函数………………………………10§解三角形………………………………14§平面向量………………………………15『第四部分』§数列……………………………………16§直线的方程……………………………17§圆的方程………………………………19§圆锥曲线………………………………20『第五部分』§空间几何体……………………………22§立体几何………………………………22『第六部分』§程序框图………………………………25§统计……………………………………25§概率……………………………………27『第七部分』§复数……………………………………28§坐标系与参数方程……………………28§几何证明选讲…………………………29『第一部分』集合、常用逻辑用语、不等式§集合§1-1、集合的含义与表示一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合的表示有列举法、描述法和图示法。描述法:{x|x具有的特征、性质、条件等},其中x代表集合的元素。示例:},5|{Nxxx且1-2、常用数集(1)自然数集N(又称非负整数集):0、1、2、3、……(2)正整数集N*或N+:1、2、3、……(3)整数集Z:-2、-1、0、1、2、……(4)有理数集Q:包含分数、整数、有限小数、无限循环小数等(5)实数集R:全体实数的集合(6)空集:不含任何元素的集合1-3、元素与集合的关系(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA.(2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作Aa(3)集合元素的三个特征:确定性,互异性,无序性。-2-1-4、集合与集合之间的关系:名称记号意义示意图(韦恩图)子集BA(或)ABA中的任一元素都属于BA(B)或BA真子集AB(或BA)BA,且B中至少有一元素不属于ABA集合相等ABA中的任一元素都属于B且B中的任一元素都属于AA(B)【提示】(1)包含关系的传递性:若BA,CB,则CA(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.1-5、含有(1)nn个元素的集合,它的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个(即不计空集);非空的真子集有2n–2个.1-6、集合的运算名称记号意义示意图交集AB{|,xxA且}xBBA并集AB{|,xxA或}xBBA补集ACU{|,}xxUxA且性质:(1)ABAAB(2)ABABAABB【提示】集合的运算常借助数轴进行;讨论集合的情况时,不要忘了集合可能为空集的情况。1-7、区间的概念及表示法设,ab是两个实数,且ab,满足axb的实数x的集合叫做闭区间,记做[,]ab;满足axb的实数x的集合叫做开区间,记做(,)ab;满足axb,或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)ab,(,]ab;满足,,,xaxaxbxb的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,)aabb.§常用逻辑用语§1-8、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题。1-9、“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论.1-10、四种命题:原命题:“若p,则q”逆命题:“若q,则p”否命题:“若p,则q”逆否命题:“若q,则p”AUAuð-3-1-11、四种命题的真假性之间的关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.1-12、若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.若pq,则p是q的充要条件(充分必要条件).【提示】(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”同时成立。(2)若BA,则AB。速记:小范围大范围。1-13、逻辑联结词:⑴且:命题形式pq;⑵或:命题形式pq;⑶非:命题形式p.pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真1-14、⑴全称量词“所有的”、“任意一个”等,用“”表示;全称命题p:)(,xpMx;全称命题p的否定p:)(,xpMx。⑵存在量词“存在一个”、“至少有一个”等,用“”表示;特称命题p:)(,xpMx;特称命题p的否定p:)(,xpMx;示例:命题P:0)1(,2xRx,p的否定┐p:0)1(,2mRm,命题q:1,2xRx,q的否定┐q:1,2xRx。§不等式§1-15.不等式的性质:(1)传递性:cacbba,(2)可加性:abacbc.同向可加性:,abcdacbd.(3)可乘性:,0abcacbc;,0abcacbc同向可乘性:0,0abcdacbd(4)乘方、开方:*0(1)nnababnNn且;*0(1)nnababnNn且(5)倒数法则:11,0ababab【提示】在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证排除。1-16、不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式(0a)解集ax||{|}xaxaax||{|xxa或}xaaxf|)(|或axf|)(|把)(xf看成一个整体,化成||xa或ax||型不等式来求解速记:pq一假则假pq一真则真p真假相反-4-(2)一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxca的图象O一元二次方程的根20(0)axbxca21,242bbacxa122bxxa无实根20(0)axbxca的解集1{|xxx或2}xx{|x}2bxaR20(0)axbxca的解集12{|}xxxx【步骤】Ⅰ、化二次项系数为正:20,(0)axbxca;Ⅱ、求出对应的一元二次方程的根;Ⅲ、画出对应的二次函数的图象;Ⅳ、根据不等号方向取出相应的解集。口诀:大于号取两边,小于号取中间1-17、高次不等式——穿针引线法:奇穿偶不穿,大于取上小于取下。1-18、分式不等式——切忌直接去分母,应移项通分,化简右边为0,再化为整式不等式(除变乘)进行求解。()0()()0()fxfxgxgx;()()0()0()0()fxgxfxgxgx。示例:11;01xxxx。1-19、作差法:0abab,代数式的大小比较或证明通常用作差法1-20、重要不等式:若,abR,则222abab,当且仅当a=b时取“=”号.1-21、基本不等式(又称均值定理):若0a,0b,则2abab,当且仅当ab时取“=”号.常用变形:2abab或22baab1-22、基本不等式的应用:设x、y都为正数,则有⑴若xys(s为定值),则当xy时,积xy取得最大值24s.速记“和定积最大”-5-⑵若xyp(p为定值),则当xy时,和xy取得最小值2p.速记“积定和最小”【提示】在应用求最值的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。1-23、线性规划:平面内的一条直线0ACByx把整个平面分成三部分,即直线两侧的点集及直线上的点集,它们构成不同的平面区域。(1)确定平面区域的方法:①“直线定界,特殊点定域”,常常将原点作为特殊点代入判断;②“同上异下”,即y的系数的符号与不等式方向的异同,即B的符号与不等式方向的异同。(2)解线性规划实际问题的步骤:在约束条件下,求目标函数zaxbyc的最优解或(最值)的一般步骤是:①画出可行域;②作出直线0:0laxby;③确定0l的平移方向,当0b,往上平移,z越来越大;当0b,往上平移,z越来越小;在可行域内判断取得最值的点④解相应的方程组,求出最优解,从而代入目标函数得到最值。注:最优解(最值)通常在可行域的边界特别是顶点处取得,即联立方程解出所有顶点坐标,代入目标函数最大(小)的为最大(小)值。『第二部分』函数、导数部分§函数性质§2-1、函数的概念①函数、映射的概念①给定两个非空的数集.....,AB,如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定....的数()fx与之对应,那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数,记作:fAB或(),yfxxA.其中A为定义域,集合()fxxA为值域.②两个集合A与B之间存在对应关系f,而且对于A中任何一个元素x,B中总有唯一..的一个元素y与它对应,就称这种对应为A到B的映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作:f:x→y.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.只有三者都相同的两个函数才是同一函数.③分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应关系。示例:3122xxy00xx2-2、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须先考虑其定义域)①分式的分母不为零;示例:01,11xxy则②偶次方根的被开方数大于或等于零;示例:05,5xxy则③对数的底数大于0且不等于1;示例:10),2(logaaxya且则④对数的真数大于0;示例:02),2(logxxya则-6-⑤指数为0的底不能为零;示例:xmy)1(,则01m⑥正切函数tanyx中,()2xkkZ.⑦由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.⑧对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.2-3、函数的奇偶性定义图象判定方法奇函数满足)()(xfxf(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)偶函数满足)()(xfxf(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y轴对称)【提示】①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则0)0(f;③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反;④根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。1-11、函数的单调性①当21xx时,都有)()(21xfxf,则)(xf在该区间上是增函数,图象从左到右上升;当21xx时,都有)()(21xfxf,则)(xf在该区间上是减函数,图象从左到右下降。函数)(xf在某区间上是增函数或减函数,那么说)(xf在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间②用定义证明函数单调性的步骤:(1)假设:设2121,xxAxx且;(2)作差:)()(21xfxf;(3)变形:化为一次因式,(4)结论:判断正负号。2-4、周期性:对于定义域内的任意x,都有()()fxTfx,则()fx为周期函数,周期为T。2-5、对称性:对于定义域内的任意x,都有)()(xafxaf,则()fx的图象关于直线ax对称。2-6、求函数解析式的常用方法:待定系数法(也常用于求直线、圆、椭圆,双曲线等的方程)§二次函数§2-7、一元二次方程20axbxc(0)a(1)求根公式:aacbbx2422,1(2)判别式:acb42(3)0时方程有两个不等实根;0时方程有一个实根;0时方程无实
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