三角函数资料总结(详细版)

三角函数1.任意角的三角函数在角的终边上任取．．一点),(yxP，记：22rOPxy，如图1-8所示正弦：sin,yxRr余弦：cos,xxRr正切：tan,,2yxkkZx余切：cot,,xxkkZy图1-8正割：sec,,2rxkkZx余割：csc,,rxkkZy以上六种函数都称为三角函数，其中正弦、余弦、正切、余切曲线如图1-9所示：105510x1.00.50.5sinx02xyOPxyr图1-9显然正弦、余弦函数的最小正周期是2，正切、余切函数的最小正周期是。2同角三角函数的基本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan。105510x64224cotx0105510x64224tanx022105510x0.50.5cosx02商数关系：cossintan，sincoscot。平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1。3、诱导公式⑴k2)(Zk、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成．．锐角时原函数值的符号。⑵2、2、23、23的三角函数值，等于的异名函数值，前面加上一个把看成．．锐角时原函数值的符号。4、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(5、二倍角公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos…)(2tan1tan22tan6、万能公式2tan1tan22sin，22tan1tan12cos，2tan1tan22tan。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。7、和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos8、积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。9、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxa其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同，22sinbab，22cosbaa，abtan。反三角函数前面所讲三角函数在其定义域内都是周期函数，并不是单值函数，其映射不是单射，因此在其定义域内不存在反函数。但我们可以限制自变量取值，使其在一定范围内成为单值函数，这样就存在反函数。例如限制[,]22x，函数sinyx为单值函数，[1,1]y，存在唯一确定[,]22x，使得sinyx，这时的反函数记为sin,[,]22yarcxx类似可定义其他三角函数的反函数，各种反三角函数见下表1-1：表1-1注记：根据原函数和反函数的图形关于直线yx对称，自己画出反三角函数的大致的图形。名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2,2〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tgx(x∈(-2,2)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy理解arcsinx表示属于［-2,2］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctgx表示属于(-2,2)，且正切值等于x的角arcctgx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2，2］［0，π］(-2，2)(0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=π-arcctgx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-2,2］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-2,2)）ctg(arcctgx)=x(x∈R)arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2(x∈［-1,1］)arctgx+arcctgx=2(X∈R)双曲函数:双曲正弦:sh2xxeex;双曲余弦:ch2xxeex;双曲正切:shthchxxxxxeexxee.如图所示双曲函数公式sh()xyshxchychxshy;ch()xychxchyshxshy;22ch1xshx;sh2x2shxchx22ch2x=chxshx.反双曲函数:双曲函数,(0),yshxychxxythx的反函数依次为反双曲正弦:yarshx;2y=arshx=ln(x+x+1)反双曲余弦:yarchx;2y=archx=ln(x+x-1)反双曲正切:yarthx.11+xy=arthx=ln21-xOxyy=thxy=chxy=shx1xyOy=e-x12y=ex121-1反双曲曲线如图1-10所示105510x32112arshx01357x0.51.01.52.02.5archx0211x32112arthx0图1-10几个公式123221()()nnnnnnnababaabababbL0()nnkknknkabCab，其中!!()!knnCknk3322()()ababaabb