《线性系统理论基础》复习提纲

《线性系统理论基础》复习提纲第1章线性系统的状态空间描述1、需要理解的概念状态（向量）状态空间、状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程线性系统状态结构（方框）图时不变（定常）系统、时变系统系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵连续时间系统、离散时间系统矩阵的特征值、矩阵的特征向量对角线标准型、约当标准型模态标准型状态线性变换正则型矩阵范德蒙矩阵传递函数矩阵2、需要掌握的方法知识点1：根据物理规律建立简单机械系统和电气系统的状态空间模型参考例题：例2.1.1，例2.1.2知识点2：微分方程模型转化为状态空间模型z微分方程中不含输入导数项()(1)110nnnyayayaybu−−++++=&L，选取状态向量12(1)nnxyxyxy−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦##，则有状态方程1122011010010nnnxxxxuxaaaxb−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦#%###输出方程[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nxxxyML21001z微分方程中包含输入函数导数项，且nm()(1)()(1)110110nnmmnmmyayayaybubububu−−−−++++=++++&&LL，mn,将其转化为()(1)110()(1)110nnnmmmmyayayayuybybybyby−−−−⎧++++=⎪⎨=++++⎪⎩，选取状态向量12(1)nnxyxyxy−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦##，则状态方程120110100101nnxxuxaaa−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&MOMM&L输出方程12011[,,,,0,,0]mnmnxxybbbx−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL123Mz微分方程中包含输入函数导数项，且nm=若()(1)()(1)110110nnnnnnnyayayaybubububu−−−−++++=++++&&LL，计算方法见教材p15。参考例题：例2.1.3，例2.1.4，例2.1.5知识点3：传递函数转化成状态空间模型（实现问题）由于1110111011-111001110()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnbsbsbsbGssasasabbasbbasbbabsasasabGs−−−−−−−−++++=++++−++−+−=+++++=+LLLL，所以只须考虑11101110(),mmmmnnnbsbsbsbGsmnsasasa−−−−++++=++++LLz并联法（部分分式分解法）（1）传递函数的极点全部为单根情况1212()nnkkkGsspspsp=+++−−−L其中ik为对应于极点ip的留数lim[()()]iiispkGssp→=⋅−则状态空间模型为111222111nnnxpxxpxuxpx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&MOMM&[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnxxxkkkyML2121参看例2.1.6（2）传递函数的极点为单个重根情况121()()()nnnkkkGsspspsp−=+++−−−L其中ik为对应于极点p的留数111lim[()()],1,2,,(1)!iniispdkGsspinids−−→=⋅−=−则状态空间模型为112210101nnxxpxxpuxxp⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&OMMMO&[]1212nnxxykkkx⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM参看：例2.1.7(3)传递函数的极点既有单根又有重根的复合情况自己总结。z串联法（零极点分解法）自己总结。z转化为微分方程方法11101110()mmmmnnnbsbsbsbGssasasa−−−−++++=++++LL等价于微分方程()(1)()(1)110110nnmmnmmyayayaybubububu−−−−++++=++++&&LL知识点4：基于基本模块的方框图的转化第一步：将各环节通过等效变换分解，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量ix，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数ix&。第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。参看：例2.1.8知识点5：通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统,xAxBuyCxDu=+=+&1）求矩阵的互不相同的特征根,1,2,,iinλ=L：即求特征多项式0IAλ−=的根2）求每个特征根iλ对应的特征向量iv：即求解线性方程组()0iiIAvλ−=3）构造线性变换xPx=的矩阵P：即以特征向量iv为列向量构成矩阵[]1nPvv=L4）计算对角线标准型的各系数矩阵1211nAPAPBPBCCPλλλ−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦==O5）写出系统通过线性变换xPx=得到的对角线标准型表达式,xAxBuyCxDu=+=+&参看：例2.2.2特殊情况：如果系统矩阵A为正则型0110101nAaaa−⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎣⎦MOL且特征值,1,,iinλ=L互不相同，则变换矩阵P为范得蒙矩阵122221211112111nnnnnnPλλλλλλλλλ−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LLLMMLML参看：例2.2.3知识点6：通过线性变换化状态空间模型为约当标准型1）计算特征根iλ假设12,,,lλλλL为全部互不相同的特征根，重数分别为12,,,lmmmL2）构造线性变换xPx=的矩阵P：对每个特征根iλ计算秩rank()iiAInλβ−=−，则从()0jiiAIpλ−=可以求出iβ个线性无关的特征向量,1,,jiipjβ=L，对每一个特征向量jip，求出其广义特征向量12,,,jjjjjiiiikpppp=L：1()0jiiAIpλ−=2132(1)()()()jjjjiiijjiiijjiikikAIppAIppAIppλλλ−−=−=−=M（其中jk表示相应于特征向量jip的广义特征向量个数）变换矩阵的构造如下：à对应于iλ的iβ个约当块的分块矩阵为12,1,,jjjjjiiiikiPpppjβ⎡⎤==⎣⎦LL；à对应于iλ的分块矩阵为1,1,,iiiiPPPilβ⎡⎤==⎣⎦LL；à变换矩阵为[]12lPPPP=L。3）计算约当标准型的系数矩阵121lAAAPAPA−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O1BPBCCP−==4）写出系统的约当标准型表达式参看：例2.2.4例2.2.5知识点7：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型z二阶系统矩阵A的特征值为共轭复数对1）计算矩阵A的特征值1,2jλσω=±2）计算特征根1jλσω=+特征向量1vjαβ=+3）得到变换矩阵[]Pαβ=4）得到模态标准型的系数矩阵和表达式11APAPBPBCCPσωωσ−−⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦==参看：例2.2.7知识点8：由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式xAxBuyCxDu=+=+&系统传递函数矩阵为1()(-)GsCsIABD−=+其中逆矩阵的计算()()()1adj--det-sIAsIAsIA−=。参看：例2.3.1第2章线性系统的运动分析1、需要理解的概念矩阵指数函数状态转移矩阵零输入状态响应零初态状态响应状态响应叠加原理输出响应线性连续系统的时间离散化采样器保持器2、需要掌握的方法知识点1：矩阵指数函数Ate的计算方法z拉普拉斯反变换法11[(-)]AtesIA−−=Lz化矩阵A为约当或对角标准型A的方法1AtAtePeP−=注意：记住几类特殊矩阵（对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等）的矩阵指数函数。参看：例3.1.3例3.1.4知识点2：求线性定常系统的状态响应和输出响应已知系统的状态方程xAxBu=+&、初始状态(0)x和输入控制量()ut，求状态响应()xt：1）求状态转移矩阵Ate2）分别求系统的零输入响应(0)Atex和零状态响应()0()tAteBudτττ−∫3）系统的状态响应为()0()(0)()tAtAtxtexeBudτττ−=+∫4）系统的输出响应为()0()()()(0)()()tAtAtytCxtDutCexeBudDutτττ−⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦∫参看：例3.2.1知识点3：线性定常连续时间系统的离散化步骤：1）对给定的采样周期T计算离散化后的状态转移矩阵ATGe=2）计算离散化后的控制矩阵0()TAtHedtB=∫3）写出系统的离散状态方程(1)()()()()()xkGxkHukykCxkDuk+=+=+参看：例3.5.3第3章线性系统的结构分析1、需要理解的概念状态能控性状态能达性状态能观性系统结构分解对偶系统对偶原理系统实现系统最小实现能控标准型Ⅰ/Ⅱ型能观测标准型Ⅰ/Ⅱ型2、需要掌握的方法知识点1：判断时不变系统的状态能控性1）写系统的能控性矩阵1ncUBABAB−⎡⎤=⎣⎦L2）计算能控性矩阵的秩，判别能控性。参看：例4.1.3特别：对角或约当标准型系统的状态能控性判别，注意使用条件。参看：例4.1.4知识点2：线性定常连续系统的能观测性判别1）写系统的能观测性判别矩阵-1onCCAVCA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M2）计算能观测性矩阵的秩，判别系统状态能观测性。例4.2.2特别：对角或约当标准型系统的状态能观性判别，注意使用条件。参看：例4.2.3知识点3：对偶系统和对偶原理给出一个系统模型，其对偶系统的表达式为知识点4：线性系统的能控子空间分解1）能控性判断2）构造非奇异变换矩阵cT[]121crnrTpppqq−=LL其中，,1,2,,ipir=L是系统能控性矩阵cU中r个线性无关的列向量，rankcrU=，另外nr−个列向量,1,2,,iqinr=−L适当选择（一般取标准基向量）使得cT非奇异3）求通过线性变换cxTx=%的矩阵,,ABC%%%1111222111200ccccAAATATABBTBCCTCC−−⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎣⎦%%%%%%%%%4）写出系统进行能控子空间分解后的状态空间表达式特别：标准型的能控子空间分解参看：例4.4.1知识点5：线性系统的能观测子空间分解1）能观测性判断2）构造非奇异变换矩阵1:xAxBuyCx=+⎧Σ⎨=⎩&2:TTTACBψψηϕψ⎧=+Σ⎨=⎩&1122ornrppTqqq−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦MM其中，,1,2,,ipir=L是系统能观测性矩阵oV中r个线性无关的行向量，rankorV=，另nr−个行向量,1,2,,iqinr=−L适当选择（一般取标准基向量）使得1oT−非奇异3）求通过线性变换oxTx=%后的矩阵1112122112100ooooAATATAABBTBBCCTC−−⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎣⎦%%%%%%%%%4）写出系统进行能观测子空间分解后的状态空间表达式特别：标准型的能观测子空间分解参看：例4.4.2知识点6：线性系统的能控能观测子空间分解1）系统[,,]ABCΣ作能控子空间分解，[]12141200ccccccxxAABuxxAxyCCx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦&&2）不能控子系统42[,0,]cACΣ进行能观测子空间分解3）能控子系统111[,,]cABCΣ进行能观测子空间分解4）综合上述三次变换的结果，得到系统同时进行能控子空间和能观测子空间结构分解111312122232423343441300000000000cocococococococococococo