实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程知识回顾1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）3.一元二次方程中的为二次项ax2，a为二次项系数；一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。4.解一元二次方程时，如果方程能直接开平方，就采用直接开平方,其次考虑因式分解，因为这种方法最快接；再次考虑求根公式法，这种方法是万能的，能求所有的一元二次方程，尤其当二次项系数不是1时。当然大前提是有解。最后考虑用配方法，因为它较复杂，但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。5.列一元一次方程解应用题的步骤？①审题②设出未知数③列方程④解方程⑤验⑥答应用分类1.数字问题1.数与数字的关系：两位数=(十位数字)×10＋个位数字三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字2.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为(x1)和(x1).3.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x1)和(x1).[例1]已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)，根据题意，得x(x8)209x28x16209+16(x4)2225x415∴x111,x219当x=11时，x819；当x19时，x811.都符合题意.答：这两个数分别11和19，或19和11.[例2]三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x2)和(x2),根据题意，得(x2)2+(x2)2x2332整理，得x2324x18当x18时，x216,x220；当x=18时，x2=20,x216.答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、18和16.2.面积问题[例3]有一块长4米，宽3米的长方形空地，现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，求花坛的长和宽.(精确到0.1米)解：设四周的等宽草坪的宽为x米，则花坛的长和宽分别为(42x)米和(32x)米，根据题意，得(42x)(32x)2[43(42x)(32x)]整理，得2x27x20解得，.当x3.19时，42x0,不合题意，舍去；当x0.31时，42x3.383.4,32x2.382.4.符合题意.答：花坛的长约为3.4米，宽约为2.4米.[例4]在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？32m20m则横向的路面面积为，32m20m分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、如图，设道路的宽为x米，32x米2纵向的路面面积为。20x米2注意：这两个面积的重叠部分是x2米2所列的方程是不是540)2032(2032xx？图中的道路面积不是xx2032米2，而是从其中减去重叠部分，即应是22032xxx米2所以正确的方程是：540203220322xxx化简得，.2,50,010052212xxxx其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：=100(米2)耕地面积=1002032=540（米2）答：所求道路的宽为2米。解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面为，32m20m如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为。20x米2耕地矩形的长（横向）为，耕地矩形的宽（纵向）为。相等关系是：耕地长×耕地宽=540米2(20-x)米（32-x)米即.5402032xx化简得：2,50,010052212xxxx再往下的计算、格式书写与解法1相同。增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为bxan)1(其中增长取+,降低取－3.增长率问题[例5]某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率为多少？(精确到0.1%)解：设今年某市市财政净收入为1，这两年中市财政净收入的平均年增长率为x，根据题意，得(1x)22,符合题意.不合题意，舍去.答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.12x12x1120.41441.4%x2120x[例6]某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同,求每次降价率为多少？两次打折标示多少折？解：设每次降价率为x,根据题意，得200(1x)2128x110.80.220%,符合题意，此时两次打折标示均为8折；x210.81不合题意，舍去.答：每次降价率均为20%，两次打折标示均为8折.10.640.8x4.传播问题【例7】甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？解：设每天平均一个人传染了x人。解得：（舍去）41x22x2187)21(9)1(955x或2187)21()1(77x答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患甲型H1N1流感分析：第一天人数+第二天人数=9，9)1(1xxx9)1(2x9)1(1xxx既【例8】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x●x=91即解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.5.销售问题【例9】在卫浴产品销售中发现：某种卫浴产品平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接卫浴展，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件产品降价1元，那么平均每天就可以多售出2件。要想平均每天销售这种卫浴产品盈利1200元，那么每件卫浴产品应降价多少元？解：设每件卫浴产品应降价x元，依题意得化简列方程，得(40－x)(20＋2x)=1200x2－30x+200=0解得X1=10x2=20∵商场要扩大销售量，增加盈利，减少库存∴X1=10不合题意，舍去∴X=20答：每件卫浴产品应降价20元6.动态几何问题【例10】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？BACDQP解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2根据题意，得整理，得解这个方程，得12(6)82xx2680xx122,4xx06x所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2【例11】等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x根据题意得：x8-x整理得：解这个方程得：答：当时，四边形面积为16cm列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关数字问题、面积问题，平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．课堂总结