Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

1第四讲Matlab求解微分方程（组）理论介绍：Matlab求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.一．相关函数、命令及简介1.在Matlab中，用大写字母D表示导数，Dy表示y关于自变量的一阶导数，D2y表示y关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一.(2)odefun是显示微分方程'(,)yfty在积分区间tspan0[,]ftt上从0t到ft用初始条件0y求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,ftttt上的解，则令tspan012[,,,]ftttt(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE问题，为此，Matlab提供了多种求解器solver，对于不同的ODE问题，采用不同的solver.2表1Matlab中文本文件读写函数求解器ODE类型特点说明ode45非刚性单步算法：4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差3()x大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法：2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差3()x使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法：Adams算法；高低精度可达3610~10计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法：Gear’s反向数值微分；精度中等若ode45失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法：2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’,‘所有自变量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:3Fofx=inline(‘x.^2*cos(a*x)-b’,‘x’,’a’,’b’);g=Fofx([pi/3pi/3.5],4,1)系统输出为：g=-1.5483-1.7259注意：由于使用内联对象函数inline不需要另外建立m文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline来定义函数.二．实例介绍1.几个可以直接用Matlab求微分方程精确解的实例例1求解微分方程2'2xyxyxe程序：symsxy;y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)例2求微分方程'0xxyye在初始条件(1)2ye下的特解并画出解函数的图形.程序：symsxy;y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x’);ezplot(y)例3求解微分方程组530tdxxyedtdyxydt在初始条件00|1,|0ttxy下的特解并画出解函数的图形.程序：symsxyt[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')simple(x);simple(y)ezplot(x,y,[0,1.3]);axisauto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例4求解微分方程初值问题2222(0)1dyyxxdxy的数值解，求解范围为区间[0,0.5].程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');4[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);plot(x,y,'o-')例5求解微分方程22'2(1)0,(0)1,(0)0dydyyyyydtdt的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令12,,7dyxyxdt，则121221212,(0)17(1),(0)0dxxxdtdxxxxxdt编写M-文件vdp.mfunctionfy=vdp(t,x)fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];end在Matlab命令窗口编写程序y0=[1;0][t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0);y=x(:,1);dy=x(:,2);plot(t,y,t,dy)练习与思考：M-文件vdp.m改写成inline函数程序？3.用Euler折线法求解Euler折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题00(,)()dyfxydxyxy化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商()()yxhyxh替代微商dydx，于是00()()(,())()kkkkyxhyxfxyxhyyx5记1,(),kkkkxxhyyx从而1(),kkyyxh于是0011(),,0,1,2,,1(,).kkkkkkyyxxxhknyyhfxy例6用Euler折线法求解微分方程初值问题22(0)1dyxydxyy的数值解（步长h取0.4），求解范围为区间[0,2].分析：本问题的差分方程为00110,1,0.4,0,1,2,,1(,).kkkkkkxyhxxhknyyhfxy程序：clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];%数值解fori=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替换函数x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2))说明：替换函数subs例如：输入subs(a+b,a,4)意思就是把a用4替换掉，6返回4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha替换a和2替换b，返回cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法，Runge-Kutta法的迭代公式为001112341213243(),,(22),6(,),0,1,2,,1(,),22(,),22(,).kkkkkkkkkkkkyyxxxhhyyLLLLLfxyknhhLfxyLhhLfxyLLfxhyhL相应的Matlab程序为：clearf=sym('y+2*x/y^2');a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];%数值解fori=1:n-1l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});替换函数l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];end7szjplot(szj(:,1),szj(:,2))练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异.(2)利用Matlab求微分方程(4)(3)''20yyy的解.(3)求解微分方程''2',2(1)0,030,(0)1,(0)0yyyyxyy的特解.(4)利用Matlab求微分方程初值问题2''''00(1)2,|1,|3xxxyxyyy的解.提醒：尽可能多的考虑解法三．微分方程转换为一阶显式微分方程组Matlab微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab可接受的标准形式.当然，如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step1将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：()'''(1)'''(1)()'''(1)'''(1)(,,,,,,,,,,)(,,,,,,,,,,)mmnnmnxftxxxxyyyyygtxxxxyyyyStep2为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外'''(1)123'''(1)123,,,,,,,,,mmnmmmmnxxxxxxxxxyxyxyxy注意：ODEs中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step3根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式''''122334123''12123,,,,(,,,,,),,(,,,,,)mmnmmmnmnxxxxxxxftxxxxxxxgtxxxx练习与思考：(1)求解微分方程组8**'''3312*'''3312()()22xxxyxrryyyxyrr其中*222(),rxy221(),rxy*1,1/82.45,(0)1.2,x(0)0,y'(0)0,x'(0)1.049355751y(2)求解隐式微分方程组''''''''''''2235xyxyxyxyxyy提示：使用符号计算