采样定理

采样定理SamplingLaw连续时间信号的采样连续时间信号离散时间信号采样内插1.信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；2.经过采样后信号内容会不会有丢失；3.如果信号没有被丢失，其反变换应该怎样进行，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。采样过程图解S)(txa)(ˆtxa)()()(ˆtPtxtxaaT0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高频率为fc0理想采样)()()(ˆtPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()(ˆ)(ˆtxa)(),(tPtP理想采样xa(t)P(t)0txa(t)^0t0tT1T二、频谱的周期延拓即即)()()(ˆ,tPtxtxaa)()(jXtxaa)(ˆ)(ˆjXtxaa)()(21)(ˆjPjXjXaa-1)]([)(tPjP由于是周期函数,即nnTttP)()(可用傅立叶级数表示，即ktjkkSeatP)(TS2采样角频率2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系数（傅里叶变换）22)(1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)]([)(tPjPktjkSeT][1tjkSe1kSkTjP)(2)()(21对称性)(21StjkkeS移频特性kSSk)(1)(t根据0(S)S2S-S-2SS)(jP)()(21)(ˆjPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采样信号的傅氏变换为kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1即kSaajkjXTjX)(1)(ˆ采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为s。讨论：S/2C)(ˆjXaS2S3S0-S(c)-CCS/20(a))(jXa最高截止频率S/2)(ˆjXa0-S2SS(b)CS2称Nyquist采样率2/S称折叠频率CS2CS/2)(ˆjXaS0-SS0~称Nyquist范围采样定理：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍原信号频谱的最高截止频率（s2C）。由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个：1.采样频率低2.连续信号的频谱没有被限带CS20C2C3C4C可选s=(34)C低通采样采样低通滤波器去掉无用的高频保证最高频率满足采样定理频域分析kSaajkjXTjX)(1)(ˆ且在时，2S)(1)(ˆjXTjXaa2,2,02,)(SCSSTjG0)(jGTS/2-S/2G(j)g(t))(ˆjXa)(ˆtxa)(jYa)(tya采样的恢复)()()(ˆ)(jXjGjXjYaaa2S时，)(1)(ˆjXTjXaaTjG)()(jXa0)(ˆjXa00)(jG)()(txtyaa时域分析)(ˆtxag(t))(tyadejGtgtj)(21)(2S时，TjG)(222)(SSdeTtgtj0)(jGTtjeeTejtTtjtjtjSSSS2122/2/22Ts22/2/sin2ttTSSS2/2/sinttSStTtTtgsin)(或2/2/sin)(tttgSSTs2称为内插函数dttgxtgtxtyaaa)()(ˆ)()(ˆ)(dttgnTnTxna)()]()([nadttgnTnTx)()()(nanTtgnTx)()(naTnTtTnTtnTx)(])(sin[)()()(txtyaanaaTnTtTnTtnTxtx)(])(sin[)()(采样内插公式CS2采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。tTnTtTnTt)(])(sin[nT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T内插函数采样的内插恢复