3.2.3-直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.导（3分钟）考纲解读1.根据条件求直线的方程是常考的知识点，分值5分；2.由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.预（12分钟）要求：(1)前4分钟阅读教材（97页-99页），后8分钟结合教材，快速、独立完成学案问题探究例题。(2)坐姿端正、专注思考、心无旁骛。研（5分钟）要求：做到积极讨论，人人发言，共同解决学案预习评价中的疑难问题。重点讨论学案问题探究中例题。展（10分钟）展示内容：口头展示：直线的一般式方程.书面展示：问题探究例1、例2、例3。展示要求：快速展示、表达清楚，说明理由。评（10分钟）要求：(1)评书写规范，评解题思路；(2)激情评讲，声音洪亮，用普通话。问题1知识点一直线的一般式方程直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？答案答案能.问题2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案答案一定.答案答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－ABx－CB，当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0，得x＝－CA，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.所以该方程表示斜率为－AB，在y轴上截距为－CB的直线；直线的一般式方程梳理形式______________条件A，B__________Ax＋By＋C＝0不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系形式方程局限点斜式______________不能表示斜率不存在的直线斜截式_________不能表示斜率不存在的直线两点式______________截距式不能表示___________________________一般式______________无梳理y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bx1≠x2，y1≠y2与坐标轴平行及过原点的直线Ax＋By＋C＝0命题角度1求直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：解答类型一直线的一般式方程(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；解由直线方程的点斜式得y－3＝3(x－5)，即3x－y－53＋3＝0.(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；解答解由斜截式得直线方程为y＝4x－2，即4x－y－2＝0.(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；解由两点式得y－5－1－5＝x－－12－－1，即2x＋y－3＝0.(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1.解答即x＋3y＋3＝0.解由截距式得直线方程为x－3＋y－1＝1，跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：(1)斜率是且经过点A(8，－6)的直线方程为______________；(2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为________；(3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为_____________；(4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.答案－12，32x＋2y＋4＝0y－2＝02x－y－3＝0x＋y－1＝0命题角度2由含参数的一般式求参数例2设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝______；答案解析－53解析令y＝0，则x＝2m－6m2－2m－3，∴2m－6m2－2m－3＝－3，得m＝－53或m＝3(舍去).∴m＝－53.(2)若直线l的斜率为1，则m＝_____.答案解析－2解析由直线l化为斜截式方程得y＝m2－2m－32m2＋m－1x＋6－2m2m2＋m－1，则m2－2m－32m2＋m－1＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.跟踪训练2若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________.∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，∴a≠－2.a≠－2解析由a2＋5a＋6＝0，a2＋2a＝0，得a＝－2，命题角度1利用两直线的位置关系求参数例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；类型二由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直解答解方法一由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行.②当m≠0时，l1∥l2，需2m＝m＋13≠4－2.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.方法二令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.(须检验）当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.方法三令23(1)2(2)4mmm解得231mmm或解得m=2或m=-3(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解答解方法一由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.②若2a＋3＝0，即a＝－32时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－a＋21－a，k2＝－a－12a＋3.当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.方法二由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，（须检验）.将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.即(－a＋21－a)·(－a－12a＋3)＝－1，跟踪训练3已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值.(1)l1∥l2；解答解∵l1∥l2，∴aa＋1－3×2＝0，2×－a－－3a＋1≠0，解得a＝2.(2)l1⊥l2.解a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－25.1.在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是A.30°B.60°C.150°D.120°23451√答案解析解析直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.当堂检测234512.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0√答案解析解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.234513.已知ab0，bc0，则直线ax＋by＝c通过A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限√答案解析解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab0，bc0，∴直线的斜率k＝－ab0，直线在y轴上的截距cb0.由此可知直线通过第一、三、四象限.234514.已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，(1)若l1∥l2，则m＝_____；答案解析得m＝－1.(2)若l1⊥l2，则m＝__.－112解析由题意知1×3－mm－2＝0，2m2≠6×3，解析由题意知1×(m－2)＋m×3＝0，得m＝12.5.求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程.23451解答解由题意，设l的方程为3x＋4y＋C＝0，将点(1,2)代入l的方程3＋4×2＋C＝0，得C＝－11，∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0.规律与方法1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误.