高等代数【北大版】6.5

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和小结与习题第六章线性空间§6.5线性子空间一、线性子空间二、生成子空间§6.5线性子空间§6.5线性子空间一、线性子空间1、线性子空间的定义设V是数域P上的线性空间，集合()WVW若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间,则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．注：①线性子空间也是数域P上一线性空间，它也②任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念.维数.§6.5线性子空间2、线性子空间的判定()W，若W对于V中两种运算封闭，即,,;WW有则W是V的一个子空间．定理：设V为数域P上的线性空间，集合WV,,WkPkW有,,,,.WabPabW推论：V为数域P上的线性空间,(),WVW则W是V的子空间§6.5线性子空间∵，∴.且对，WWW由数乘运算封闭，有(1)W，即W中元素的负元素就是它在V中的负元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于WV，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．由加法封闭，有,即W中的零元0()W证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．§6.5线性子空间例2设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则R[x]为V的一个子空间．例3P[x]n是P[x]的的线性子空间．例1设V为数域P上的线性空间，只含零向量的子集合是V的一个线性子空间，称之为V的零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间.这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为非平凡子空间．{0}W§6.5线性子空间的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数①(＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，；()ijsnAa例4n元齐次线性方程组111122121122221122000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(＊)注②(＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.空间，称W为方程组(＊)的解空间．量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子§6.5线性子空间例5判断Pn的下列子集合哪些是子空间：11212{(,,,)0,}nniWxxxxxxxP解：W1、W3是Pn的子空间，W2不是Pn的子空间.21212{(,,,)1,}nniWxxxxxxxP3121{(,,,,0),1,2,,1}niWxxxxPin若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.事实上，W1是n元齐次线性方程组的解空间.所以，维W1＝n－1，①的一个基础解系120nxxx①§6.5线性子空间就是W1的一组基.1(1,1,0,,0),1(1,0,,0,1)n,2(1,0,1,0,,0),而在W2中任取两个向量，设,1212(,,,),(,,,)nnxxxyyy1122()()()nnxyxyxy但是1212()()112nnxxxyyy1122(,,,)nnxyxyxy2,W则故W2不是Pn的子空间.§6.5线性子空间故，W3为V的一个子空间，且维W3＝n－1，1213(,,,,0)nkkxkxkxW1122113(,,,,0)nnxyxyxyW则有其次，3,,,WkP121121(,,,,0),(,,,,0)nnxxxyyy设330(0,0,,0),WW首先下证W3是Pn的子空间.(0,,0,1,0,0),1,2,,1iiin　就是W3的一组基.§6.5线性子空间例6设V为数域P上的线性空间，12,,,rV1122{,1,2,,}rriWkkkkPir令则W关于V的运算作成V的一个子空间．即的一切线性组合所成集合.12,,,r§6.5线性子空间称为V的由生成的子空间，12,,,r二、一类重要的子空间——生成子空间定义：V为数域P上的线性空间，则子空间12,,,rV，1122{,1,2,,}rriWkkkkPir记作．12(,,,)rL称为的一组生成元.12,,,r12(,,,)rL§6.5线性子空间例7在Pn中，21[](1,,,,)nnPxLxxx(0,,0,1,0,0),1,2,,iiin　为Pn的一组基，12(,,,)nnaaaP1122nnaaa有12(,,,)nnPL故有即Pn由它的一组基生成.类似地，还有1011011,,,nnnaaxaxaaaP事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.§6.5线性子空间有关结论1、设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有12,,,r12(,,,)rWL2、（定理3）1）；为线性空间V中的两组向量，则12,,,s1212(,,,)(,,,)rsLL12,,,r与等价．12,,,r12,,,s2）生成子空间的维数12(,,,)rL＝向量组的秩．12,,,r§6.5线性子空间证：1）若1212(,,,)(,,,)rsLL则对,1,2,,,iir有，12(,,,)isL从而可被12,,,si线性表出；同理每一个也可被线性表出.12,,,ri所以，与等价．12,,,r12,,,s12(,,,)rL，可被线性表出，12,,,r从而可被线性表出，即12,,,s12(,,,),sL反之，与等价．12,,,r12,,,s1212(,,,)(,,,)rsLL§6.5线性子空间所以,1212(,,,)(,,,).rtLL同理可得，1212(,,,)(,,,)srLL故，1212(,,,)(,,,)rsLL由§3定理1，2）设向量组的秩＝t，不妨设12,,,r为它的一个极大无关组．12,,,()ttr因为与等价，12,,,r12,,,t就是的一组基，12(,,,)rL12,,,t所以，的维数＝t．12(,,,)rL§6.5线性子空间无关组，则推论：设是线性空间V中不全为零12,,,s的一组向量，是它的一个极大12,,,()riiirs1212(,,,)(,,,)rsiiiLL3、设为P上n维线性空间V的一组基，12,,,n则的维数＝秩(A).12(,,,)sL1212(,,,)(,,,)snAA为P上一个矩阵，若ns§6.5线性子空间证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线性无关，并将这r列构成的矩阵记为A1，其余s-r列构成的矩阵记为A2，则A＝(A1,A2)，且秩(A1)＝秩(A)＝r，12121(,,,)(,,,)rnA设即11220,rrkkk112(,,,)0,rrkk下证线性无关.12,,,r§6.5线性子空间12,,,n是V的一组基，110rkAk又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即②120,rkkk12,,,r线性无关.从而1121(,,,)0nrkAk§6.5线性子空间1212(,,,)(,,,)rjnjB任取(1,2,,),jjs将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj，则则有1121(,,,)0njrrlBll1121(,,,,)0,rjrrlll即设112210,rrrjllll§6.5线性子空间从而有110jrrlBll③而秩(Bj)＝r，∴③有非零解，故有不全为零的数121,,,,,rrllll使故为的极大无关组，12,,,r12,,,s所以的维数＝r＝秩(A).12(,,,)sL112210,rrrjllll线性相关.12,,,,rj§6.5线性子空间则向量组与矩阵A的列向量组具有相同12,,,s线性相关性.所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯阵来求向量组的一个极大无关组，从而12,,,s求出生成子空间的维数与一组基.12(,,,)sL1212(,,,)(,,,)snA注：由证明过程可知，若为V的一组基，12,,,n§6.5线性子空间为V的一组基．即在V中必定可找到n－m个向量设W为n维线性空间V的一个m维子空间，4、（定理4）为W的一组基，则这组向量必定可扩充12,,,m，使为V的一组基．12,,,n12,,,mmn扩基定理证明：对n－m作数学归纳法．当n－m＝0时，即n＝m，定理成立．12,,,m就是V的一组基.假设当n－m＝k时结论成立.§6.5线性子空间因n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，下面我们考虑n－m＝k＋1的情形．必定是线性无关的．121,,,,mm既然还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量不能被线性表出，把它添加进去，则12,,,m1m12,,,m由定理3，子空间是m＋1维的．121(,,,)mL可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.由归纳假设，的基121(,,,)mL121,,,,mm§6.5线性子空间它扩充为P4的一组基，其中例8求的维数与一组基，并把12345(,,,,)L1(1,1,2,4),5(2,1,5,6)4(1,1,2,0),3(3,0,7,14),2(0,3,1,2),解：对以为列向量的矩阵A作12345,,,,初等行变换103121301121725421406A10312033030110102242§6.5线性子空间1031201101000000004410312011010001100000B由B知，为的一个极大124,,12345,,,,故，维＝3，12345(,,,,)L就是的一组基.124,,12345(,,,,)L无关组.§6.5线性子空间10101310.21214200可逆101131120,420又(0,0,1,0)令则线性无关，从而为P4的一组基.124,,,§6.5线性子空间练习设V为数域P上的线性空间，为V1234,,,的一组基，且123,,,V1123412(,,,),342123421(,,,),313123413(,,,),03求的一组基，并把它扩充为V的一组基.123(,,)L§6.5线性子空间令对A作初等行变换121213,330413A121121121051051011033011006077000000AB1231234121213(,,)(,,,)330413解：§6.5线性子空间121