排列组合课件常规

│排列、组合│知识梳理知识梳理1．排列(1)定义：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．(3)排列数公式：n，m∈N*，m≤n，Amn＝＝n！n－m！.按照一定的顺序所有排列Amnn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)│知识梳理(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，Ann＝＝，规定0！＝.2．组合(1)定义：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任意取出m个元素的组合数，用符号表示．(3)组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝＝，n·(n－1)(n－2)·…·3·2·1n！1Cmnnn－1n－2…n－m＋1mm－1…3·2·1n！n－m！m！│知识梳理n，m∈N*，m≤n.由于0！＝，所以C0n＝.3．组合数的性质(1)Cmn＝.(2)Cmn＋1＝＋.11Cn－mnCmnCm－1n│要点探究要点探究►探究点1排列数、组合数的计算例1若已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，则Cm8＝()A．8B．28C．56D．70│要点探究【思路】根据组合数公式，解方程求出m.【解答】Bm的取值范围为m0≤m≤5，m∈Z，由已知，m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍)或m＝2，∴Cm8＝C28＝28.【点评】在求组合数中的未知数时要注意必须使组合数公式本身有意义，同时在计算时要注意合理选用组合数的两个计算公式，简化计算．下面一道题是有关排列数的问题，在考查排列数公式的应用时，一定要注意到排列数是一些连续正整数的乘积，在解题时注意到这个特点进行约分，可简化计算．│要点探究│要点探究变式题若A7n－A5nA5n＝89，则n＝()A．14B．15C．16D．17【思路】根据排列数公式，通过解方程解决．│要点探究【解答】B因为nn－1n－2…n－6－nn－1n－2…n－4nn－1n－2…n－4＝(n－5)(n－6)－1＝n2－11n＋29，所以n2－11n＋29＝89，化简得n2－11n－60＝0，解得n＝15，或n＝－4(舍)，故方程的解是n＝15.│要点探究例2六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙按从左至右顺序排队(可以不相邻)；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站在左端，乙不站在右端．►探究点2排列问题│要点探究【解答】(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站法A14·A55＝480(种)．方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后中间4人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法A25·A44＝480(种)．【思路】按特殊元素(位置)进行合理分类，再由排列数和计数原理可分别求得．│要点探究方法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480(种)．(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看做一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步计数原理，共有A55·A22＝240(种)站法．(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔挡，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A25种，故共有站法为A44·A25＝480(种)．│要点探究也可以用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由(2)知甲、乙相邻有A55·A22＝240种站法，所以不相邻的站法有A66－A55·A22＝720－240＝480(种)．(4)先将甲、乙以外的4人从6个位置中挑选4个位置进行排列共有A46种，剩下的两个位置，左边的就是甲，右边的就是乙，全部排完，故共有A46＝360(种)．(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步计数原理，共有A22·A44＝48(种)．│要点探究(6)方法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法．方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端A55种，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A44·A14＝384种，故共有A55＋384＝504种站法．│要点探究【点评】带有限制条件的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制的问题，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类题通常从三种途径考虑：①以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素；②以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置；③先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列．│要点探究变式题用0～9这十个数字组成没有重复数字的正整数．(1)共有几个三位数？(2)末位数字是4的三位数有多少？(3)求所有三位数的和；(4)四位偶数有多少？(5)比5231大的四位数有多少？【思路】按特殊元素(的位置)进行分类，再由排列数和计数原理可分别求得．│要点探究【解答】(1)百位不能为“0”，因此共有A19·A29＝648个；(2)末位为4，百位不能为“0”，因此共有A18·A18＝64个．(3)考虑各数位上的数字之和，可得所有三位数的和为：A18A18(1＋2＋…＋9)＋A18A18(1＋2＋…＋9)×10＋A29(1＋2＋…9)×100＝355680.(4)分末位数字是否为0两种情况考虑．A39＋A14A18A28＝2296种；│要点探究(5)①千位上为9,8,7,6的四位数各有A39个；②千位上是5，百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有A28个；③千位上是5，百位上为2，十位上为4,6,7,8,9的四位数各有A17个；④千位上是5，百位上为2，十位上为3且满足要求的共有5个，因此共有N＝4A39＋6A28＋5A17＋5＝2392种．│要点探究►探究点3组合问题例3课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．│要点探究【思路】解组合应用题时一般从特殊元素入手，先选出特殊元素，再选其他元素．【解答】(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)；(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)；(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)，或采用间接法：C513－C511＝825(种)；│要点探究(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)；(5)分两类：第一类是女队长当选，共C412(种)．第二类是女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.故选法共有：C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．【点评】解决“含与不含”问题常用优先法来求解，“至多至少”问题，常采用直接分类法或间接排除法来求解．在选取元素时一定要做到“不重不漏”．│要点探究│要点探究变式题[2009·海南宁夏卷]7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【思路】只要从7人中先选3人安排在周六，再从余下的4人中选出3人安排在周日即可．│要点探究【答案】140【解析】方法1：从7人中先选3人安排在周六、再从余下的4人中选出3人安排在周日，共有C37C34＝140种方法．方法2：先从7人中选出6人，再从6人中选出3人安排在周六，余下3人在周日，根据乘法原理总数为C67C36C33＝140.方法3：先从7人中选出6人，把6人先均分为两组、再分配到周六和周日，根据乘法原理总数为C67C36C33A22A22＝140.│要点探究例4[2009·四川卷]3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．360B．288C．216D．96【思路】有且仅有两位女生相邻可以把这两位女生“捆绑”，把三名女生当作两个元素，在男生隔开的四个空隙中安排这两个元素，最后再减去甲站在两端的情况．►探究点4排列、结合的综合应用│要点探究【解答】B3位男生的全排列数是A33＝6，隔开四个空隙，把3位女生中的2位“捆绑”有方法数C23A22＝6，将3位女生当两个看，安插在四个空隙中的两个有方法数A24＝12，故“6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法”有A33C23A22A24＝432种；其中男生甲站两端的男生排法种数是A12A22＝4，此时只能在甲的一侧的三个空隙中安插经过“捆绑”处理后的三个女生，有方法数C23A22A23＝36，故“3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻的”的排法有A12A22C23A22A23＝144种，综上，故符合条件的排法共有432－144＝288种．【点评】排列中有一类一些元素必须相邻、一些元素必须不相邻，这两个问题都有固定的解决方法：在一个排列中某几个元素必须相邻，采用的是把这几个元素作为一个整体元素看待，即把这几个元素“捆绑”起来，使其在和其他元素排列时是一个元素，这样排列后这几个元素就相邻在一起了；在一个排列中某几个元素不能相邻，必须隔开，这时先排列其余元素，这样这些元素与元素之间就出现了空隙，只要在这些不同的空隙中排列需要不相邻的元素即可，这两个问题可以简称为“相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法”．排列组合在实际问题中的另一个重要应用就是数字问题，在解决时一定要注意“0”这个特殊元素．│要点探究│要点探究变式题有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三个组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．│要点探究【解答】(1)分三步：先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下的3本全选有C33种选法，由分步计数原理知，分配方式共有：C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还在考虑再分配问题．因此分配方式共有：C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三步，则应是C26·C24·C22种方法，但是这里面出现了重复．不妨记六本书为A、B、C、D、E、F.若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分│要点探究法为(AB，CD，EF)，则C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况．而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同．因此只能作为一种方法．故分配方式有：C26·C24·C22