人教版八年级下册-18.2.3-正方形-课件--(共25张PPT)

18.2.3正方形问题引入平行四边形矩形菱形？有一个角为直角邻边相等是什么？新知探究ABCDABCD两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD正方形是特殊的矩形邻边相等的矩形。正方形正方形★正方形是特殊的菱形一个角是直角的菱形。轴对称图形，有4条对称轴OABCD(A)(B)1、对称性四边相等2、边AB=BC=CD=DA四角相等3、角∠A=∠B=∠C=∠D=90°4、对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形的性质平行四边形正方形一组邻边相等一个内角是直角1、定义法∵□ABCD中，AB=BC且∠A=90°，∴ABCD为正方形ABCDABCD正方形的判定正方形菱形一内角是直角2、菱形法∵菱形ABCD中，∠A=90°，∴ABCD为正方形ABCDABCD矩形一组邻边相等正方形3、矩形法ABCDABCD∵矩形ABCD中，AB=BC，∴ABCD为正方形.已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O。求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形。例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．OABCD典例精析证明：∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°∴AC=BD，AC⊥BD,AO=BO=CO=DO∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO结论很重要！平行四边形矩形菱形正方形有一组邻边相等且有一个角是直角1.在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE。分析：连接AF，要求BF=EF，求证△AEF≌△ABF，可以求证EF=BF（2）根据（1）的结论，要求BF=CE，求证△CEF为等腰直角三角形即可小试身手解析：（1）连接AF在Rt△AEF和Rt△ABF中，∵AF=AF，AE=AB，∴Rt△AEF≌Rt△ABF，∴BF=EF；2.证明：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形。分析：（1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论；（2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．解：（1）如图1所示：已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；求证：四边形ABCD是正方形；证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是正方形；解：（2）如图2所示：已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；求证：四边形ABCD是正方形；证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是正方形．3.已知△ABC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）四边形AEDF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？（3）当线段AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形；（2）∵一个角为直角的平行四边形为矩形，∴∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形；（3）∵菱形对角线互相垂直，∴当AD⊥EF时，四边形AEDF是菱形；（4）∵正方形既是菱形又是矩形，∴∠BAC=90°且AD⊥BC时，四边形AEDF是正方形．轴对称图形，有4条对称轴四边相等四角相等正方形的性质相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形的判定课堂小结1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50B．55C．70D．75分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．C分析：阴影部分的面积=S△ACD-S△MEC，△ACD和△MEC都是等腰直角三角形，利用面积公式即可求解．A3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．B4.已知正方形ABCD，E为BC上任一点延长AB至F，使BF=BE，连AE并延长交CF于G，求证：AG⊥CF．解析：如图，∵BE=BF，∴∠BFE=45°∵∠CAB=45°，∴FH⊥AC，又CB⊥AF，∴E是△ACF的垂心，因此AG⊥CF。5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形解析：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90°，∠AFD=90°∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形在△BDE和△CDF中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF∴□AEDF是正方形