高三数学二项式定理

2010届高考数学复习强化双基系列课件89《排列组合－二项式定理》nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaCb)(a一、内容归纳1．知识精讲：（1）二项式定理：n),,2,1,0(rbaCTrrnrn1r其通项是555156baCTTnn知4求1，如：nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110NnNnnnnrrnnnnxCxCxCCx101特别地：Nn（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，其中，是二项式系数。而系数是字母前的常数。nnrn2n1n0n、C、、C、、C、CC,,,,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC即：②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。122maxnnnrnRCC1211212121maxnnnnnnrnTTCCC③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即n2nnnnnCCC210131202nnnnnCCCC（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式,如证明：Nnnnn,322nn112取的展开式中的四项即可。2．重点难点:二项式定理和二项展开式的性质。3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，是第r+1项。rrnrnbaC②通项是（r=0,1,2,……,n）中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。1rTrrnrnbaC③注意二项式系数与某一项系数的异同。④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。nx)1(rnbaTr,,,,1二、问题讨论例1．（1）等于（）nnnnnnCCCC1321393A、B、C、D、n4n43134n314n（2）若n为奇数，则被9除得的余数是（）A、0B、2C、7D、8DC777712211nnnnnnnCCC例2、（1）(优化设计P179例1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。nxx421（2）(优化设计P179例2)求的展开式的常数项。321xx（3）在的展开式中，求x的系数（即含x的项的系数）5223xx【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。练习：(优化设计P180思考讨论)（1）在732)1)(1(xxxx的展开式中，求4x的系数。（2）求的展开式中的常数项。4)44(xx（3）求…的展开式中的系数。543)1()1()1(xxx50)1(x3x141120。451C例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，An＝1n2nnn(1)用q和n表示An(2)当时,求nnnA2lim13q【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及nnnnnCCC210nnnnnaCaCaC......2211例4、若=，求（1）―的值。（2）的值。432x44332210xaxaxaxaa2420aaa231aa3210aaaa【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。思考题：设则9922105433321xaxaxaaxx286420aaaaa297531aaaaa―0备用题：例5已知,（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。nx（)221(【思维点拨】二项式系数与展开式某一项系数是不同的概念。例6：当且n1，求证Nn3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。三、课堂小结：1、二项式定理及二项式系数的性质。通项公式。2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异同。3、证明组合恒等式常用赋值法。四、课前热身91.已知的展开式中，x3的系数为，则常数a的值为______.92xxa492.在的展开式中，常数项为__.5221152-4x-xx15【解题回顾】在不影响结果的前提下，有时只要写出二项展开式的部分项，此可称为“局部运算法”.Bnxxx413.若的展开式中含有x4的项，则n的一个值是()(A)11(B)10(C)9(D)8B522yx4.的展开式中系数大于-1的项共有()(A)5项(B)4项(C)3项(D)2项B10312xx5.在的展开式中，常数项是()(A)第11项(B)第7项(C)第6项(D)第5项返回６.已知(3-2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则(1)a2+a3+a4+a5的值为________；(2)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=_________.56828827.2C02n+C12n+2C22n+C32n+…+2C2k2n+C2k+12n+…+C2n-12n+2C2n2n=________.3·22n-18.若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项为()(A)462(B)252(C)210(D)10nxx231C9.已知(2x+1)n(n∈N+)的展开式中各项的二项式系数之和为Sn，各项的系数和为Tn，则()(A)-1(B)0(C)12(D)1nnnnnTSTSlimA10.1-90C110+902C210-903C310+…+(-1)k90kCk10+…+9010C1010除以88的余数是()(A)-1(B)1(C)-87(D)87A返回五、能力·思维·方法1.若(x+m)2n+1和(mx+1)2n(n∈N+，m∈R且m≠0)的展开式的xn项的系数相等，求实数m的取值范围.【解题回顾】注意区分二项式系数与项的系数.2.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.nxx421【解题回顾】展开式中有理项的特点是字母x的指数即可，而不需要指数Z43-4rZ43-4r3.求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项.nxx421【解题回顾】由于这个二项式的第二项分母中有数字2，所以展开式中的系数不是二项式系数，因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.返回4.求证及的展开式中不能同时含有常数项.nxx111nxx【解题回顾】二项式定理解题活动中，涉及到的很多问题都是关于整数的讨论，要注意其中的字母取整数这一隐含条件的应用.5.(1)求证：kCkn=n·Ck-1n-1;(2)等比数列{an}中，an＞0，试化简A=lga1-C1nlga2+C2nlga3-…+(-1)nCnnlgan+1.【解题回顾】不仅要掌握二项式的展开式，而且要习惯二项展开式的逆用，即应用二项式定理来“压缩”一个复杂的和式，这一解题思想方法是很重要的.返回【解题回顾】解一、解二各有优点，在具体的问题中应视情况不同选用.6.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数.7.已知展开式的各项系数之和比(1+2x)2n展开式的二项式系数之和小240，求展开式中系数最大的项.nxx31nxx31【解题回顾】在展开式中，各项系数之和就等于二项式系数之和；而在(1+2x)2n展开式中各项系数之和不等于二项式系数之和，解题时要细心审题，加以区分.nxx318.已知(3x-1)7＝a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.，21-1ff21-1ff【解题回顾】本题采用的方法是“赋值法”，多项式f(x)的各项系数和均为f(1)，奇数项系数和为偶数项的系数和为9.填空题：(1)1.9975精确到0.001的近似值为_______；(2)在(1+x+x2)(1-x)10的展开式中，x5的系数是______；(3)1919除以5的余数为_______；(4)和S＝C110+2C210+3C310+…+10C1010的值为________.-1624512031.761【解题回顾】用二项式定理讨论一个式子被m除的余数时，一般把其主要式子写成(a+bm)n(a、b∈Z)的形式，即首项外其余各项均能被m整除.而对于不满足C0n+C1n+C2n+…+Cnn＝2n的组合数运算时，要注意转化利用k·Ckn＝nCk-1n-1.返回10.(1)今天是星期一，问1090天后是星期几?(2)证明：2n+2·3n+5n-4能被25整除.【解题回顾】数学解题活动的本质就是化归，将不熟悉的问题向熟悉的问题转化应当是数学解题活动的基本思想方法.返回石器时代，是考古学家假定的一个时间区段，为考古学上的术语。石器时代分为旧石器时代、中石器时代与新石器时代。考古学对早期人类历史分期的第一个时代，即从出现人类到青铜器的出现，大约始于距今二三百万年，止于距今5000至2000年左右。石器时代SF石器时代SF这一名称是英国考古学家卢伯克于1865年首先提出的，这个时代在地质年代上已进入全新世。石器时代只是个时间区段概念，石器时代并不代表那个时候的人类只会使用石器；据近代考古出土大量的文化遗存表明，几千年前的古人已经步入冶铸、稻作、制陶、纺织等文明时期。青铜、铁器为金属品，遗存几千年的较少；陶器、玉器可存时间长，出土的遗存较多。许人。”“是。”“这次见，出落得越发好了，难得是机伶顺意。”老太太又道。明秀在旁边笑。“你娘也跟你说过，你二姐姐在宫里，想有个伴儿。”老太太果然把话题移过来，“本来呢，你跟你二姐姐，是最亲了。”明秀低头揉着衣带。“秀儿，这么多孩子里，你是最大方明礼的，奶奶也不跟你绕着了，”老太太道，“你看咱们要跟你二姐姐找个伴当，珞儿肯不肯？”明秀声如蚊蚋：“珞儿跟二姐姐的感情，向来是很好的。这些年也一直念着二姐姐。”“这孩子有情意。”老太太叹道，“可惜你笙妹妹病成这样……不回她自己院子，又去哪好呢？”第四十二章梅香惹人约黄昏（4)“奶奶，三哥院里倒是空着，柳少姨娘素来也疼笙妹妹，你看让笙妹妹过去可好？”明秀提议。苏三公子明词，出仕在安城，作司马。他的妻子彥氏，新婚燕尔，又无子嗣，当然随他上任去。留下一个柳姓姨娘，是作丫头时就跟了苏明词的，代小俩口留在苏家，给老人尽孝。明词院里没其他男人在，柳少姨娘为防物议，起居极贞静，虽在外院，其实同内院无甚差别，更难得从没跟表闹过别扭。搬到那里是挺合宜。“你这孩子真周到。”老太太抚着明秀的手，“我只怕珞儿没你周详，进了宫，要吃亏。你跟珞儿相处得多，对她品性，总比我一个老太婆更了解些。你看她如何？”福珞若在当场，准手心出汗，等明秀多说几句好话。明秀答应过她的！但明秀只推逊道：“秀儿怎比得奶奶看人准。”“你说说罢！”老太太再三要求。明秀这才道：“旁的也说不好，只不过一起玩的时候，珞儿时常有些好主意，我们照她做去，果然不错，因此都爱同她玩。”老太太又问了些细节，再将明秀出阁时要带的一些贵重物品、家常得用物色，同明秀商议。明秀除了涉及福珞的问话时，老老实实说几句，后头那些只是低头听、红着脸笑，再不发一语。老太太