2008年高考理科数学(重庆)卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数1+32i=(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是(A)相离(B)相交(C)外切(D)内切(4)已知函数y=13xx的最大值为M,最小值为m,则mM的值为(A)14(B)12(C)22(D)32(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(3)＝(A)15(B)14(C)13(D)12(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C)f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段12PP所成的比的值为(A)－13(B)－15(C)15(D)13(8)已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为（A）22xa－224ya=1(B)222215xyaa(C)222214xybb(D)222215xybb(9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A）V1=2V(B)V2=2V（C）V1V2（D）V1V2(10)函数f(x)=sin132cos2sinxxx(02x)的值域是（A）[-2,02](B)[-1,0]（C）[-2,0]（D）[-3,0]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB)()Cð=.（12）已知函数23xfxa当x0时当x=0时，在点在x=0处连续，则2221limxanann.(13)已知1249a(a0)，则23loga.(14)设nS是等差数列{an}的前n项和，1298,9aS,则16S=.（15）直线l与圆22240xyxya(a3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为.(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在ABC中，B=90,AC=152,D、E两点分别在AB、AC上.使2ADAEDBEC,DE=3.现将ABC沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）设函数2()(0),fxaxbxca曲线y=f(x)通过点（0，23a），且在点1,1f处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数xgxfxe的单调区间.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cosPMPNMPN＝,求点P的坐标.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{an}满足321122,(N*)naaaaaan.（Ⅰ）若214a，求34,aa，并猜想2008a的值（不需证明）；（Ⅱ）记12(N*),22nnnbaaanb若对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）A（2）A（3）B（4）C（5）D（6）C（7）A（8）C（9）D（10）B二、填空题：每小题4分，满分24分.（11）25，（12）13（13）3（14）-72（15）x-y+1=0（16）216三、解答题：满分76分.（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbA＝2221117()2,3329ccccc故7.3ac（Ⅱ）解法一：cotcotBC＝cossincossinsinsinBCCBBC＝sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin12141439··.1sinsinsin9333·3cAaBCAbccc故143cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()93cos2723cccacbBaccc＝5.27故2253sin1cos1.2827BB同理可得22222271199cos,27127233cccabcCabcc2133sin1cos1.2827CC从而coscos51143cotcot33.sinsin399BCBCBC（18）（本小题13分）解：令,,kkkABC分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224PACBPBCA（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222PPAAPBB12312333111(3)()().224PPACCPBCC1234123444111(4)()().228PPACBBPBCAA123451234555111(5)()(),2216PPACBAAPBCABB123451234555111(6)()(),2216PPACBACPBCABC故有分布列从而111114723456248161616E（局）.（19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因ADAEDBCE，故BE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.23456P121418116116在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.在答（19）图1中，由2ADAECBBC，得2.3DEADBCAB又已知DE=3,从而39.22BCDE22221596.22ABACBC因1,2.3DBDBAB故＝（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,11552,,322DBEC因此4sin.5DBBCEEC从而在Rt△DFE中，DE=3,412sinsin3.55DFDEDEFDEBCE在5Rt,4,tan.3ADAFDADAFDDF中因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan5.3解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，DBDEDA、、的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），9202C，，，E（0，3，0）.302ADAD＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设00(,,0),Fxy从而00(,,0),DFxy00(,3,0).EFxyDFCE由，有0030,20.2DFCExy即①又由003,.322xyCEEF得②联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525xyFAF即，得因为36483(2)025252AFCE,故AFCE,又因DFCE,所以DFA为所求的二面角A-EC-B的平面角.因3648,,0,2525DF有22364812,4,25255DFAD所以5tan.3ADAFDDF因此所求二面角A-EC-B的大小为5arctan.3(20)（本小题13分）解：(Ⅰ)因为2(),()2.fxaxbxcfxaxb所以又因为曲线()yfx通过点（0，2a+3）,故(0)23,(0),23.fafcca而从而又曲线()yfx在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故(1)0,f即-2a+b=0,因此b=2a.(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bcaaa故当34a时，bc取得最小值-94.此时有33,.22bc从而233333(),(),42222fxxxfxx2333()()(),422xxgxfxcxxe所以23()(()()(4).4xxgxfxfxexe令()0gx，解得122,2.xx当(,2),()0,()(,2)xgxgxx时故在上为减函数；当(2,2)()0,()(2,).xgxgxx时，故在上为减函数当(2,)()0()(2,)xgxgxx时，，故在上为减函数.由此可见，函数()gx的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.(21)（本小题12分）解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy(Ⅱ)由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN①因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPN故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线2213xy上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足2