第04章-结构可靠度与可靠指标

结构可靠度与可靠指标目录4.1结构可靠度与失效概率4.2结构可靠度与可靠指标4.3可靠指标的几何涵义4.4计算可靠指标β的两个常用公式4.5可靠指标与安全系数的关系4.6可靠指标与分项系数的关系4.1结构可靠度与失效概率结构设计的基本目的是使所设计的结构在设计基准期内满足安全性、适用性和耐久性，也就是使结构具有足够的可靠性。结构可靠性的概率度量称为结构的可靠度。也就是说，结构的可靠度是指结构在规定的时间内与规定的条件下完成预定功能的概率。4.1结构可靠度与失效概率结构完成各项功能的标志可由相应的极限状态来衡量。结构整体或某一部分超过某一特定状态时，结构就不能满足设计规定的某一功能要求，这一特定状态称为结构的极限状态。因此，结构的极限状态是区分结构工作状态为可靠或不可靠的分界线。4.1结构可靠度与失效概率(1)承载能力极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到最大承载能力，或达到不适于继续承载的变形。(2)正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用和耐久性的各项规定限值。结构的极限状态一般可分为以下两类：4.1结构可靠度与失效概率在结构可靠度分析中，结构的极限状态是通过描述结构的功能函数定义的。设X1，X2，…，Xn为影响结构功能的n个随机变量，则下述随机函数Z=g(X1，X2，…，Xn)(4-1)称为结构功能函数。随机变量X1，X2，…，Xn可以是构件的几何尺寸、材料的物理参数、结构受到的外来作用等等。4.1结构可靠度与失效概率当Z0时，结构具有规定功能，即处于可靠状态；当Z0时，结构丧失规定功能，即处于失效状态；当Z=0时，结构处于临界状态，或称为极限状态。相应地，方程Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-2)称为结构的极限状态方程。4.1结构可靠度与失效概率结构功能函数出现小于零（Z0）的概率称为结构的失效概率，用Pf表示。设结构的功能函数式(4-1)已知，则失效概率Pf可由基本随机变量的联合概率密度函数的多维积分求得，即02121...),...,,(...znnXfdxdxdxxxxfP(4-3)类似地，结构的可靠度Pr可表示为02121...),...,,(...znnXrdxdxdxxxxfP(4-4)4.1结构可靠度与失效概率由概率论知识可知，可靠度与失效概率间存在以下互补关系：Pr+Pf=1(4-5)所以，计算结构的可靠度与计算结构的失效概率在工作任务上是等效的。一般来说，直接计算积分式(4-3)或(4-4)十分困难。目前，通常采用比较简便的近似方法计算，而且往往先求得结构的可靠指标，然后再求得相应的失效概率。4.1结构可靠度与失效概率设结构承载能力功能函数为Z=g(R，S)=R–S(4-6)相应的极限状态方程为Z=R–S=0(4-7)式中R称为结构抗力(结构抗力是指结构抵抗破坏或变形的能力，如极限内力、极限强度、极限刚度以及抗滑力、抗倾力矩等)；S称为荷载效应(荷载效应是指由荷载引起的结构构件的内力、位移等)。4.1结构可靠度与失效概率显然，Z0时，结构处于可靠状态；Z0时，结构失效。下面分两种情况讨论结构可靠度和失效概率的计算方法：1.R、S为正态分布变量设抗力R、荷载效应S均为正态分布变量，其均值和标准差分别为mR、mS和σR、σS，因此变量Z也是正态随机变量，并具有均值mZ=mR–mS，标准差变量Z的概率密度函数为。22SRZ4.1结构可靠度与失效概率其分布如图4-1所示。zmzzfZZZZ，221exp21)(z(4-8)Z0Z0fzZZ()安全失效PfrP(非阴影部分面积）mz4.1结构可靠度与失效概率根据定义，结构失效概率Pf就等于图4-1所示的阴影面积，而非阴影面积(Z0部分)即为结构的可靠度Pr。其公式表示分别为0)()0(dzzfZPPZfdzmzZZZ2021exp210)()0(dzzfZPPZrdzmzZZZ2021exp21(4-9)(4-10)4.1结构可靠度与失效概率2.R、S为非正态分布变量设抗力R、荷载效应S的概率密度函数分别为fR(r)、fS(s)，如图4-2所示。mSRms,rRfr())(sfS干涉区失效概率用数学式子表示为：0)0(SRPZPPf4.1结构可靠度与失效概率为了计算失效概率，先来考虑荷载效应S落在区间ds内的概率。由图4-3可以得到dssfdssSdssPS)(22而抗力R小于荷载效应S的概率为sRdrrfSRP0)()(4.1结构可靠度与失效概率假定R和S为相互独立的随机变量，则二者在ds区域内同时发生的概率应等于上述两种概率的乘积，即sRSdrrfdssf0)()(结构的失效概率Pf是在整个区间(0，∞)上R小于S的概率，所以有000)()()()(dssfsFdsdrrfsfPSRsRSf(4-11)式中。sRRdrrfsF0)()(4.1结构可靠度与失效概率与上述讨论相类似，又可得到失效概率的另一种计算公式：00)()()()(drrfrFdrdssfrfPRSrSRf(4-12)应当指出，式(4-3)是计算结构失效概率的精确表达式，无论结构功能函数是线性的还是非线性的，基本变量是相关的还是不相关的，均可用此式求结构的失效概率。在变量R，S相互独立的情况下，式(4-9)、(4-11)、(4-12)也是计算结构失效概率的精确表达式。4.2结构可靠度与可靠指标仍以具有两个正态变量R和S的极限状态方程为例，即Z=R–S=0根据式(4-9)，有0221exp21dzmzPZZZf4.2结构可靠度与可靠指标将正态分布变量Z~N(mZ，σZ)转换为标准正态分布变量Y~N(0，1)，如右图所示，则失效概率又可表示为ZZmfmdyyPZZ/2)2exp(21式中。，22SRZSRZmmm(4-13)),(ZN)1,0(N)(zfZYfa()fP0zZzZzy0Z/))ZmmZmZzbPf4.2结构可靠度与可靠指标引入符号β，并令22SRSRZZmmmfP(4-14a)可得(4-15)式中β为一无因次的系数，称为可靠指标。将式(4-14a)写为ZZm(4-14b)由图(4-4)可见，z由到均值mZ这段距离可以用标准差去度量。4.2结构可靠度与可靠指标式(4-15)表示了失效概率与可靠指标的关系。利用式(4-5)还可导出可靠度与可靠指标的关系为11frPP(4-16)β之所以称为可靠指标，是因为它可以描述结构的可靠度，具体原因如下：1.β与结构可靠度之间存在一一对应的关系，所以它是结构可靠度的度量。β越大，可靠度Pr亦越大，失效概率则越小。4.2结构可靠度与可靠指标2.在某种分布下，当σZ为常量时，β仅随均值mZ变化。当β增加时，概率密度曲线将由于均值mZ的增大而向右移动（见图4-5），这时失效概率Pf减小，而结构可靠度Pr增大。4.3可靠指标的几何涵义设R、S为两个正态随机变量，均值和标准差分别为mR、mS和σR、σS，极限状态方程为Z=R–S=0(4-17)为了讨论方便，引入标准正态变量R’、S’，使得SSRRmSSmRR''，4.3可靠指标的几何涵义代入式(4-17)，可得以下形式的极限状态方程0''SRSRmmSRZ(4-18)在标准正态变量空间内，极限状态方程(4-18)表示一条直线，它将该空间分Z=0Z0Z0失效区安全区`Od`RS为可靠区和失效区两部分，如右图所示。4.3可靠指标的几何涵义由几何学的知识可知，坐标原点O到极限状态直线的距离为：22SRSRmmd将式(4-19)与式(4-14)比较可见，距离d就是可靠指标β。所以，结构可靠度的计算式又可表示为(4-19)。)(dPr上述结论可以推广到n维变量空间。一般地，设X1，X2，…，Xn为一组相互独立的正态变量，极限状态方程为：4.3可靠指标的几何涵义Z=g(X1，X2，…，Xn)=0(4-20)式(4-20)可能是线性的，也可能是非线性的，它表示n维空间的一个曲面，该曲面将n维空间分为可靠区和失效区。将变量X1，X2，…，Xn转换为标准正态变量为Y1，Y2，…，Yn，相应的极限状态方程即为Z=G(Y1，Y2，…，Yn)=0(4-21)4.3可靠指标的几何涵义类似于两个正态变量的情况，在标准正态空间内，从坐标原点到极限状态曲面的最短距离即为可靠指标β。下图表示的是三个正态变量的情况，图中O点到曲面的最短距离OP*即为β值，曲面上的P*点称为设计验算点。4.4计算可靠指标β的两个常用公式1.正态变量表示的线性极限状态方程对于具有两个正态变量R、S的线性极限状态方程Z=R–S=0由前面的讨论得到可靠指标β的计算公式为：22SRSRZZmmm(4-22)式(4-22)可以推广到n个变量的情况，设具有n个正态变量Xi(i=1，2，…，n)的线性极限状态方程为：niiiXaaZ100其均值和标准差分别为：niXiiZmaam10niXiiZa122(4-23)(4-25)(4-24)4.4计算可靠指标β的两个常用公式可得结构可靠指标的计算公式为：niXiiniXiiZZamaam12210(4-26)若变量之间存在相关性，设变量Xi、Xj(i，j=1，2，…，n)的相关系数为ρij，则式(4-26)仍然成立，只需将计算标准差σZ的公式更换为：ninjinjiXjXijiijXiiZaaa11,122(4-27)4.4计算可靠指标β的两个常用公式例4-14.4计算可靠指标β的两个常用公式设某零件在一点处的抗力为R，荷载效应为S，均为正态分布变量，其均值和标准差分别为：0.61220.61224RRm，0.40820.35714SSm，求该点处的可靠度。解：由式(4-22)，得到47.30.40820.61220.357140.612242222SRSRmm应用式(4-16)，可得该点的可靠度为：%97.999997.047.3rP（查附表1：正态分布函数表）例4-1例4-2由锰钢制成的拉杆，横截面积为A，已知该拉杆承受的拉力Q和锰钢材料的屈服极限应力Rf均为正态变量，其均值和标准差分别为：试求在失效概率Pf=4.8×10－7的条件下，拉杆的横截面积A。NNmQQ0.3000,0.1200022/5.27,/0.443mmNmmNmRfRf4.4计算可靠指标β的两个常用公式解：由查附表1得代入式(4-22)得例4-20.10.1rfPP可得9999995.0)108.40.1(0.11711fP9.49.4/0.30005.27/0.120000.44322AA将上式整理后得解得例4-228.65mmA09.178010.10632010.7209002AA2.两个对数正态变量表示的极限状态方程设R和S为对数正态分布变量，则lnR和lnS即为正态分布变量。其统计参数分别表示为：SSRRSSRRmm,;,;,;,考虑极限状态方程0lnlnSRZ可见Z也是正态分布变量，下面求Z的均值和标准差。4.4计算可靠指标β的两个常用公式由式(2-38)得lnR、lnS的方差分别为：22221ln1lnSSRRVV；于是Z的标准差如下：)]1)(1ln[()