2015陕西高考数学(理科)试题解析版

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2015·陕西卷(理数)1.A1[2015·陕西卷]设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]1.A[解析]由题得集合M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].2.I5[2015·陕西卷]某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图1­1所示,则该校女教师的人数为()图1­1A.93B.123C.137D.1672.C[解析]女教师的人数是110×70%+150×40%=137.3.C4[2015·陕西卷]如图1­2,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()图1­2A.5B.6C.8D.103.C[解析]据图可知,-3+k=2,得k=5,所以ymax=3+5=8.4.J3[2015·陕西卷]二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.44.B[解析]根据二项展开式的通项公式可得x2的系数为Cn-2n=C2n=n(n-1)2=15,解得n=6.5.G2[2015·陕西卷]一个几何体的三视图如图1­3所示,则该几何体的表面积为()图1­3A.3πB.4πC.2π+4D.3π+45.D[解析]该几何体是底面半径为1、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱,其表面积为12×2π×1×2+2×12×π×12+2×2=3π+4.6.A2、C6[2015·陕西卷]“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.A[解析]sinα=cosα时,cos2α=cos2α-sin2α=0,反之cos2α=0时,sinα=±cosα,故“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.7.F3[2015·陕西卷]对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b27.B[解析]根据数量积的定义a·b=|a||b|cos〈a,b〉,所以|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|≤|a||b|,选项A中的关系式一定成立;如果选项B中的关系式成立,则|a-b|2≤||a|-|b||2,可得a·b≥|a||b|,此式只在a,b共线且同向时成立;根据向量的运算法则可知选项C,D中的关系式是恒成立的.8.L1[2015·陕西卷]根据下面框图1­4,当输入x为2006时,输出的y=()图1­4A.2B.4C.10D.288.C[解析]输入x值后循环结构的功能是把输入值逐次减去2.由于2006为偶数,所以最后一次执行循环体后x=-2,故输出的y=32+1=10.9.B7、E6[2015·陕西卷]设f(x)=lnx,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=rpB.p=rqC.q=rpD.p=rq9.B[解析]r=12(f(a)+f(b))=12ln(ab)=lnab=p.因为ba0,所以a+b2ab,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以qp=r,故选B.10.E5[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元10.D[解析]设该企业每天生产甲种产品x吨、乙种产品y吨,则x,y需满足约束条件3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润z=3x+4y.约束条件表示的平面区域是以(0,0),(4,0),(2,3),(0,4)为顶点的四边形及其内部,把各点坐标代入目标函数检验可知,目标函数在点(2,3)处取得最大值3×2+4×3=18,即该企业每天的最大利润为18万元.11.K3、L4[2015·陕西卷]设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.12+1πC.12-1πD.14-12π11.D[解析]由|z|≤1得(x-1)2+y2≤1,其表示圆心为(1,0),半径为1的圆及其内部.在此区域内y≥x表示的区域为图中的阴影部分,其面积为圆(x-1)2+y2=1面积的四分之一减去一个等腰直角三角形的面积,即π4-12,故y≥x的概率为π4-12π=14-12π.12.B5[2015·陕西卷]对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上12.A[解析]若前三个选项中的结论正确,则a-b+c=0,-b2a=1,a+b+c=3,解得a=-34,与a为非零整数矛盾,故错误的结论一定在前三个选项,选项D中的结论一定正确;若选项A,B正确,则有a-b+c=0,-b2a=1,4a+2b+c=8,解得a=-83,与a为非零整数矛盾,故错误结论一定在选项A,B中,即选项C,D的结论正确;若选项A正确,则a-b+c=0,4ac-b24a=3,4a+2b+c=8,整理得a无实数解,与a为非零整数矛盾,故错误的只能是选项A中的结论.13.D2[2015·陕西卷]中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.13.5[解析]设首项为a1,则a1+2015=2×1010,解得a1=5.14.H6、H7[2015·陕西卷]若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=________.14.22[解析]双曲线x2-y2=1的左焦点为(-2,0),所以-p2=-2,故p=22.15.B12、H2[2015·陕西卷]设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.15.(1,1)[解析]对y=ex求导得y′=ex,令x=0,得曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为1,故曲线y=1x(x0)上点P处的切线斜率为-1,由y′=-1x2=-1,得x=1,则y=1,所以P的坐标为(1,1).16.B10、B13[2015·陕西卷]如图1­5,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.图1­516.1.2[解析]以梯形的底边为x轴,底边的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y=ax2,根据已知点(5,2)在该抛物线上,代入抛物线方程得a=225,即抛物线方程为y=225x2,故抛物线与直线y=2所围成的图形的面积为2052-225x2dx=22x-275x350=403,梯形的面积为10+62×2=16.最大流量之比等于其截面面积之比,故比值为16403=4840=1.2.17.C8[2015·陕西卷]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.17.解:(1)因为m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=3,由于0Aπ,所以A=π3.(2)方法一:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=π3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c0,所以c=3.故△ABC的面积为12bcsinA=332.方法二:由正弦定理得7sinπ3=2sinB,从而sinB=217,又由ab,知AB,所以cosB=277.故sinC=sin(A+B)=sinB+π3=sinBcosπ3+cosBsinπ3=32114.所以△ABC的面积为12absinC=332.18.G5、G10、G11[2015·陕西卷]如图1­6(1)所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图1­6(2)所示.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.图1­618.解:(1)证明:在图(1)中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥AC,BE∥CD.即在图(2)中,BE⊥OA1,BE⊥OC,又OA1∩OC=O,OA1⊂平面A1OC,OC⊂平面A1OC,从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,所以∠A1OC为二面角A1­BE­C的平面角,所以∠A1OC=π2.如图,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,所以B22,0,0,E-22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,得BC→=-22,22,0,A1C→=0,22,-22,CD→=BE→=(-2,0,0).设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ,则n1·BC→=0,n1·A1C→=0,得-x1+y1=0,y1-z1=0,取n1=(1,1,1);n2·CD→=0,n2·A1C→=0,得x2=0,y2-z2=0,取n2=(0,1,1),从而cosθ=|cos〈n1,n2〉|=23×2=63,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.K5、K6、K8[2015·陕西卷]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.19.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.方法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.方法二:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.20.H5、H8[2015·陕西卷]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图1

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