2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版)

本2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）.1、集合}0lg|{xxM，}4|{2xxN，则NM（）A．（1，2）B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2]2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．1xyB．3xyC．xy1D．||xxy3、设a，Rb，i是虚数单位，则“0ab”是“复数iba为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4、已知圆C：0422xyx，l是过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111CBAABC，CBCCCA21，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A．55B．35C．552D．536、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为甲x，乙x，中位数分别为甲m，乙m，则()A．乙甲xx，乙甲mmB．乙甲xx，乙甲mmC．乙甲xx，乙甲mmD．乙甲xx，乙甲mm7、设函数xxexf)(，则（）A．1x为)(xf的极大值点B．1x为)(xf的极小值点C．1x为)(xf的极大值点D.1x为)(xf的极小值点8、两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有()A．10种B．15种C．20种D．30种9、在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A．23B．22C．21D．2110、右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．1000NPB．10004NPC．1000MPD．10004MP第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）11、观察下列不等式232112353121122474131211222••••••照此规律，第五个．．．不等式为________________________________.12、5)(xa的展开式中2x的系数为10，则实数a的值为_____.13、右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.14、设函数,0,12,0,ln)(xxxxxfD是由x轴和曲线)(xfy及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则yxz2在D上的最大值为____.15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若存在实数x使3|1|||xax成立，则实数a的取值范围是__________________.B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，DBEF，垂足为F，若6AB，1AE，则DBDF_______.C.（坐标系与参数方程选做题）直线1cos2与圆cos2相交的弦长为___.三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。16、(本小题满分12分)函数1)6sin()(xAxf（0A，0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.（Ⅰ）求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）设)2,0(，2)2(f，求的值.17、(本小题满分12分)设}{na是公比不为1的等比数列，其前n项和为nS，且5a,3a,4a成等差数列.（Ⅰ）求数列}{na的公比；（Ⅱ）证明：对任意Nk，2kS，kS，1kS成等差数列.18、(本小题满分12分)（Ⅰ）如图，证明命题“a是平面内的一条直线，b是外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若ba，则ca”为真；（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.19、(本小题满分12分)已知椭圆1C：1422yx，椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率.（Ⅰ)求椭圆2C的方程.（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，OAOB2，求直线AB的方程.20、(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客办理业务时计时.（Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.21、(本小题满分14分)设函数cbxxxfnn)(（Nn，b，cR）（Ⅰ)设2n，1b，1c，证明：)(xfn在区间（21，1）内存在唯一零点；（Ⅱ）设2n，若对任意1x，2x]1,1[，有4|)()(|2212xfxf，求b的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ)的条件下，设nx是)(xfn在（21，1）内的零点，判断数列2x，3x，，nx，的增减性.办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.12012年陕西省高考理科数学试题答案一、选择题1.【解析】1xxM，22xxN，则21xxNM，故选C2.【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D3.【解析】“0ab”则0a或0b，“复数bai为纯虚数”则0a且0b，则“0ab”是“复数bai为纯虚数”的必要不充分条件，故选B4.【解析】点(3,0)P在圆内，则l必与C相交，故选A5.【解析】设1CB，则1,2,21AB，1,2,01BC，则55,cos111111BCABBCABBCAB，故选A6.【解析】经计算得：x甲=21.5625，x乙=28.5625，m甲=20，m乙=29，故选B7.【解析】()xfxxe，1'xefxx，0xe恒成立，令0'xf，则1x当1x时，0'xf，函数单调减，当1x时，0'xf，函数单调增，则1x为()fx的极小值点，故选D8.【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为313C种情况；若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为624C种情况；综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，则所有可能出现的情况共20种，故选C9.【解析】2122cos2222222baccabcbaC，故选C10.【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，则点落入扇形的概率为1000M，由几何概型知，点落入扇形的概率为4，则10004MP，故选D二．填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】6116151413121122222【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=2221131211nL，右边=1112nn，所以第五个不等式为6116151413121122222.12.【答案】1【解析】∵rrrrxaCT551，令2r，则23253xaCT，又∵2x的系数为10，则10325aC，∴1a13.【答案】62【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2）设抛物线的解析式为2axy，则有222a，∴21a，∴抛物线的解析式为221xy水位下降1米，则y=-3，此时有6x或6x∴此时水面宽为62米。14.【答案】2【解析】当2x时，xxf1'，11'f，∴曲线在点(1,0)处的切线为1xy则根据题意可画出可行域D如右图：目标函数zxy2121，当0x，1y时，z取得最大值215.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．【答案】42a【解析】|||1|3xax表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即31a，则42aB．【答案】5【解析】∵6AB，则圆的半径为3，连接OD，则OD=3[来源:学+科+网]又1AE，则OE=2在直角三角形OED中，5222OEODED根据射影定理，在直角三角形EDB中，52EDDBDFC．【答案】3【解析】2cos1是过点0,21且垂直于极轴的直线，2cos是以0,1为圆心，1为半径的圆，则弦长=321122.三、解答题16.【解析】（Ⅰ）∵函数fx的最大值是3，∴13A，即2A。∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期T，∴2。故函数fx的解析式为()2sin(2)16fxx。（Ⅱ）∵()2f2sin()126，即1sin()62，∵02，∴663，∴66，故3。17.【解析】（1）设数列na的公比为q（01qq，）。由534aaa，，成等差数列，得3542aaa，即2431112aqaqaq。由100aq，得220qq，解得12q，21q（舍去），所以2q。（2）证法一：对任意kN，21212kkkkkkkSSSSSSS121kkkaaa11220kkaa，所以，对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列。证法二：对任意kN，12121kkaqSq，21kkSS21111111kkaqaqqq21121kkaqqq，1212121kkkkaqSSSq21121kkaqqq2112121kkkaqqqq21201kaqqqq，因此，对任意kN，21,,kkkSSS成等差数列。18.【解析】（Ⅰ）证法一如图，过直线b上一点作平面的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得nbc，则)()()(nabanbaca，因为ba，所以0ba，又因为a，n，所以0na，故0ca，从而ca.证法二如图，记Abc,P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO,垂足为O,则cO.aPO,，直线aPO，又ba，b平面PAO,PbPO,a平面PAO，又c平面PAO，ca.（Ⅱ）逆命题为：a是平面内的一条直线，b是平面外的一条直线（b不垂直于），c是直线b在上的投影，若ab，则ac.逆命题为真命题19.【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆2C的方程为214222axay，其离心率为23，故2342aa，则4a，故椭圆2C的方程为141622xy（Ⅱ）解法一BA,两点的坐标分别为BBAAyxyx,,,，由OAAB2及（Ⅰ）知，BAO,,三点共线且点BA,不在y轴上，因此可设直线AB的方程为kxy.将kxy代入1422yx中，得44122xk，所以22414kxA，将kxy代入141622xy中，得16422xk，所以