2010年高考数学(理)试题及答案(陕西卷)

中国权威高考信息资源门户年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。1.集合A=|12xx，B=|1xx，则()RACB=【D】（A）|1xx（B）|1xx（C）|12xx（D）|12xx解析：本题考查集合的基本运算21|,1|xxBCAxXBCRR2.复数1izi在复平面上对应的点位于【A】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义1iiiii21212)1(，所以点（)21,21位于第一象限3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是【B】A.f(x)在（4，2）上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2D.f(x)的最大值为2解析：本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数4.5axxRx展开式中3x的系数为10，则实数a等于【D】A.-1B.12C.1D.2解析：本题考查二项展开式的通项公式2,10,1325,15255551aaCrrxCaxaxCTrrrrrrr有得由5.已知函数f(x)=22111xxxaxx，，若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】中国权威高考信息资源门户解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=26.右图是求样本1x，2x，…，10x平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】A.S=S+nxB.S=S+nxnC.S=S+nD.S=S+1n7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A.13B.23C.1D.2解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为1221218.已知抛物线22(0)ypxp的准线与圆22670xyx相切，则p的值为【C】A.12B.1C.2D.4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p0）的准线方程为2px，因为抛物线y2＝2px（p0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以2,423pp法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以2,12pp9.对于数列na，“1(1...)nnaan，2，”是“na为递增数列”的【B】A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件221中国权威高考信息资源门户解析：由1(1...)nnaan，2，知na所有项均为正项，且121nnaaaa，即na为递增数列反之，na为递增数列，不一定有1(1...)nnaan，2，，如-2，-1,0,1,2，….10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为【B】A.y10xB.3y10xC.4y10xD.5y10x解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设)90(10mx，，时10103103,60xmmx1101103103,96xmmx时当，所以选B二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1解析：0)1()1(21//)(),1,1(mcbamba得由，所以m=-112.观察下列等式：332123，33321236，33332123410，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为333333212345621。解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个等式．．．．．为333333212345621。13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为13解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为13210dxx，所以点M取自阴影部分部分的概率为13中国权威高考信息资源门户，冶炼每万吨铁矿石的的2CO排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：aB(万吨)C（百万元）A50％13B70％0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求2CO的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用yxz63x,y满足约束条件表示平面区域为则当直线yxz63过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）不等式x323x的解集为1xx解析：法一：分段讨论xx，时，原不等式等价于35321131223xxxx，时，原不等式等价于2352xx，时，原不等式等价于综上，原不等式解集为1xx法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数23xxy的图像研究9.17.05.0yx25.0yx0,0yx中国权威高考信息资源门户(几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA169解析：ABCD,由直角三角形射影定理可得516BD5,BA4,BC,2所以又BABDBC59ADBDDA169C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为cos1sinxy（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____解析：直线l的极坐标方程为sin1化为普通方程为y=1，所以直线l与圆1)1(22yx的交点坐标为(-1,1).(1,1)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知na是公差不为零的等差数列，11a且139,,aaa成等比数列（1）求数列na的通项公式（2）求数列的前n项和nS解：（1）由题设知公差d≠0由11a且139,,aaa成等比数列得12d18d112d解得d=1,d=0（舍去）故na的通项1(1)1nann（2）由（1）知22nan，由等比数列前n项和公式得中国权威高考信息资源门户(12)222...22212nnnnS17.（本小题满分12分如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知3)AB=5(3+海里，906030,45,DBADAB105ADB在DAB中，由正弦定理得sinsinDBABDABADBsin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60sin60cos45ABDABDBADB=53(13)103(13)2（海里），又30(9060)60,203DBCDBAABCBC海里，在DBC中，由余弦定理得2222cosCDBDBCBDBCDBC=1300120021032039002CD30（海里），则需要的时间30130t（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。注：如果认定DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点。中国权威高考信息资源门户（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。解法一：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。∵2,22APABBCAD，四边形ABCD是矩形∴A,B,C,D,P的坐标为(0,0,0),(2,0,0),(2,22,0),(0,22,0),(0,0,2)ABCDP又E,F分别是AD,PC的中点，∴(0,2,0),(1,2,1)EF∴(2,22,2),(1,2,1),(1,0,1)PCBFEF,∴2420,2020,PCBFPCEF∴,,PCBFPCEF∴,,,PCBFPCEFBFEFF∴PC平面BEF（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量1(2,22,2)nPC,平面BAP的法向量2(0,22,0)nAD，∴12nn=8设平面BEF与平面BAP的家教为θ，则121212||82cos|cos(,)|||||2422nnnnnn，∴45，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二：（Ⅰ）连接PE,EC，在RtPAE和RtCDE中，中国权威高考信息资源门户=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC，又2222,BFAPABBCF是PC的中点，∴BFPC又,BFEFFPCBEF平面（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又ABCD是矩形，∴AB⊥BC,∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB,又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在PBC中，PB=BC,90PBC,45PCB所以平面BEF与平面BAP的夹角为4519.（本小题满分12分）为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。中国权威高考信息资源门户（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~18