2006年高考数学真题陕西卷(理科)

2006高考数学试题陕西卷理科试题（必修＋选修II）注意事项：１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0},则P∩Q等于()A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}2.复数(1+i)21－i等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i3.n→∞lim12n(n2+1－n2－1)等于()A.1B.12C.14D.04.设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于()A.6B.5C.4D.35.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±2B.±2B.±22D.±46.等式sin(α+γ)=sin2β成立是α、β、γ成等差数列的()A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知双曲线x2a2－y22=1(a2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.263D.2338.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.89.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1－a,则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7第二部分（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为14.(3x－1x)12展开式x－3的系数为(用数字作答)15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(2x－π6)+2sin2(x－π12)(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.18.(本小题满分12分)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13,25,12.(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.19.(本小题满分12分)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.20.(本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.21.(本小题满分12分)如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1);三动点D,E,M满足AD→=tAB→,BE→=tBC→,DM→=tDE→,t∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.22.（本小题满分１4分）已知函数f(x)=x3－x2+x2+14,且存在x0∈(0,12),使f(x0)=x0.（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0,xn+1=f(xn);y1=12,yn+1=f(yn),其中n=1,2,……（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn;（III）证明：yn+1－xn+1yn－xn12.ABA1B1αβl第19题图yxOMDABC－1－1－212BE参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCBCBADBDADC1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}={|32}xx≤≤，所以P∩Q等于{1，2}，选B．2．复数(1+i)21－i=2(1)11iiiii，选C．3．n→∞lim12n(n2+1－n2－1)=22222211lim2(11)(11)nnnnnnnn=22111lim42nnnn，选B．4．函数f(x)=loga(x+b)(a0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则log(2)1log(8)2aabb，∴228baba，3a或2a(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．5．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为yxa，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴||22a，∴a的值±2，选B．6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，则α+γ=kπ+(－1)k·2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件。选A．7．已知双曲线22212xya(a2)的两条渐近线的夹角为π3，则23tan63a，∴a2=6，双曲线的离心率为233，选D．8．已知不等式(x+y)(1axy)≥9对任意正实数x，y恒成立，则1yaxaxy≥21aa≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4，选B．9．已知非零向量AB→与AC→满足(||||ABACABAC)·BC→=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又cosA||||ABACABAC=12，∠A=3，所以△ABC为等边三角形，选D．10．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x，0a3，∴x1+x2=1－a∈(－2，1)，x1与x2的中点在(－1，21)之间，x1x2，∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离，∴f(x1)f(x2)，选A．11．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则可能三点在α的同侧，即．平面ABC平行于α，这时三条中位线都平行于平面α；也可能一个点A在平面一侧，另两点B、C在平面另一侧，则存在一条中位线DE//BC，DE在α内，所以选D．12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C．二、填空题13．－1214．59415．3R16．60013．cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin43sin77cos120=－21．14．(3x－1x)12展开式中，x－3项为2210121(3)()Cxx=5943x，3x的系数是594．15．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4R，侧棱长为3R，求得它的高为R，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R．16．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①甲、丙同去，则乙不去，有2454CA=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有3454CA=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有45120A种选法，共有600种不同的选派方案．三、解答题17．解:(Ⅰ)f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)=2[32sin2(x－π12)－12cos2(x－π12)]+1=2sin[2(x－π12)－π6]+1=2sin(2x－π3)+1∴T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时，sin(2x－π3)=1，有2x－π3=2kπ+π2即x=kπ+5π12(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+5π12，(k∈Z)}．18．解:(Ⅰ)记甲投篮1次投进为事件A1，乙投篮1次投进为事件A2，丙投篮1次投进为事件A3，3人都没有投进为事件A．则P(A1)=13，P(A2)=25，P(A3)=12，∴P(A)=P(A1－A2－A3－)=P(A1－)·P(A2－)·P(A3－)=[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=15∴3人都没有投进的概率为15．(Ⅱ)解法一:随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)，ξ~B(3，25)，P(ξ=k)=C3k(25)k(35)3－k(k=0，1，2，3)，Eξ=np=3×25=65．解法二:ξ的概率分布为:ξ0123P2712554125361258125Eξ=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．19．解法一:(Ⅰ)如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l,AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α．则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．Rt△BB1A中，BB1=2，AB=2，∴sin∠BAB1=BB1AB=22．∴∠BAB1=45°．Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1=AA1AB=12，∴∠ABA1=30°．故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．(Ⅱ)∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FEABA1B1αβl第19题解法一图EFABA1B1αβl第19题解法二图yxyEF就是所求二面角的平面角．在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=2．∴Rt△AA1B中，A1B=AB2－AA12=4－1=3．由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=AA1·A1BAB=1×32=32，∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63，∴二