圆的切线的证明方法

1圆的切线的证明方法天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。［证明］：连结OD∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO∴∠COB=∠COD在△DOC和△BOC中∵OD=OB，∠COD=∠COB2OC=OC∴△DOC≌△BOC∴∠CDO=∠CBO∵AB是⊙O的直径，BC是切线∴∠CBO=90°∴∠CDO=90°∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F∵AB与小圆相切于点E∴OE⊥AB∴AE=BE，CF=DF∵AB=CD∴AE=CF在Rt△AEO和Rt△CFO中∵OA=OC，AE=CF∴Rt△AEO≌Rt△CFO∴OE=OF∴CD是小圆的切线例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O与AB相切。［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。［证明］：过O点作OH⊥AB于H∵E、F分别为AC、BC的中点∴EF∥AB，且EF=1/2AB∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD3∵CD=1/2AB∴EF=CD∴OH=1/2EF∴AB为⊙O的切线例4.如图，已知AB是⊙O的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：CD与⊙O相切。［分析］：因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。［证法一］：如图4-1，连结OE、AE∵AB是⊙O的直径∴AE⊥BF∵D是AF的中点∴DA=DF=DE∴∠DEA=∠DAE∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线∴∠DAE+∠OAE=90°∴∠DEA+∠OEA=90°∵OE是⊙O的半径∴CD与⊙O相切于E［证法二］：如图4-2，连结OE、AE、OD∵AB是⊙O的直径∴AE⊥BF∵D是AF的中点∴DA=DE=1/2AF在△OED和△OAD中∵DE=DA，OD=OD，OE=OA∴在△OED≌△OAD∴∠OED=∠OAD∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°4∴∠OED=90°∵OE是⊙O的半径∴CD与⊙O相切于E［点评］：证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？并证明。［分析］：⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。［证明］：⑴以AB为直径的圆与边CD相切。如图5-1，过E点作EF⊥CD于F∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD∴EA=EF同理可证,EF=EB∴EA=EB=EF=1/2AB∵EF⊥CD，且FE=1/2AB∴以AB为直径的圆与边CD相切⑵以CD为直径的圆与边AB相切如图5-2，过E点作EF⊥CD于F，过E点作EG∥BC交CD于G点。在△EAD与△EFD中∵∠A=∠EFD=90°∠ADE=∠FDE，DE=DE（下转6版）5如何证明圆的切线垂直于圆的半径用反证法。设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。假设直线l不垂直于OA，过O作OM垂直l于M因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，所以OAOM（直角三角形斜边大于直角边）即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l即圆的切线垂直于圆的半径圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”．于是，切线具有如下性质：(1)切线与圆只有一个公共点；(2)切线与圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多．在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．6(1)利用切线性质计算线段的长度两个圆相交于A,B两点，半径分别为3和4，若两个圆在A点的切线互相垂直，求两个圆圆心的距离。两个圆在A点的切线互相垂直,也就是过A点的两个半径互相垂直，所以两个半径，圆心距组成的是直角三角形所以圆心距是根号下（3^2+4^2)=5回答人的补充2009-10-1710:47因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条，切线垂直与半径，而两切线垂直，所以切线就是另一圆的半径回答人的补充2009-10-1710:42半径和切线在切点处垂直，而两条切线也在切点处垂直，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，所以两条半径是互相垂直的，根据勾股定理得5（两个圆在A点的切线互相垂直,即过A点的两个半径互相垂直）圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点15[标签：o2,切线]圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点C,直线CA交圆O2于点D1，当D与A不重合时，EA=ED是否成立？2，当D与A重合时，，（唯一的.）回答:1人气:12解决时间:2010-02-2209:52网友完善的答案好评率：100%查看完善答案历史解：7连结AB，过B做AB⊥FG交⊙O1于F，交⊙O2于G连结AG连结AF并延长交⊙O2于H连结EH∵AB⊥FG，∴∠ABF=90为直角∴AF为直径，同理AG为直径AE为⊙O1切线∴O1A⊥AE∴AH⊥AE∴∠HAE=90∴HE为直径又∠HAD=∠CAF∠CAF=∠CBA=∠EBG∠EBG=∠EAG又O2A＝O2E∴∠HAD=∠HEA∴E平分弧AD∴EH垂直平分AD∴AE=DE有AB两个圆，A圆半径为4厘米，B圆半径为6厘米，如果B圆不动，A沿着B圆圆周滚动，当A到原点时，A的自身转动多少圈分析：A走过的总长度应该是B的周长B的周长=2×6π=12πcmA的周长=2×4π=8πcm所以A要滚动12π/8π=1.5圈已知圆o1与圆o2相交于A,B两点,圆o1的切线AC交圆o2于点c，直线EF过点B交圆o于点E，交圆o2于F81.若直线EF交弦AC于点D时(如图10)求证AE平行于CF2若直线EF交弦AC于点D时(如图2），求证DA*DF=DC*DE2.3若直线EF交弦AC的反向延长线于点D（图3自作），判断（1），（2）的结论是否成立？并证明你的结论91、连接AB1、连接AB即∠AEB=∠BAC(弦切角的定义）∠CFB=∠BAC(同弧所对圆周角相等）∴∠AEB=∠CFB∴AE∥CF2、连接AB,CF∠AEB=∠BAC(弦切角的定义）∠CFD=∠BAC(同弧所对圆周角相等）∴∠AEB=∠CFD(圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）即∠AED=∠CFD又∵∠ADE=∠CDF∴△ADE∽△CDF∴AD／CD＝DE／DF∴DA*DF=DC*DE103、成立连接AB,AE,CF∵∠DAE=∠ABE(弦切角的定义）∵∠ACF=∠ABE((⊙O2)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角∴∠DAE=∠ACF∴AE∥CF∴△ADE∽△CDF(平行线分三角形相似）∴AD／CD＝DE／DF∴DA*DF=DC*DE如何证明圆的切线垂直于圆的半径？用反证法。设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。假设直线l不垂直于OA，过O作OM垂直l于M因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，所以OAOM（直角三角形斜边大于直角边）即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l即圆的切线垂直于圆的半径9、AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，PC与PB为半圆O的切线，若AB=2a，问PA=？1110、已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连AE并延长交BD于点F，直线AB延长线于点G。求证：CG是⊙O的切线。分析或解答：9、先做图，连接OC这样OB=OC因为C在三等分点处，故角BOC为120度。而角POB为60度，根据三角涵数，得PB=根号3a三角形PAB为直角三角形，由勾股定理可得PA为根号7a.10、∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线或：∵CH⊥AB,DB⊥AB∴CH∥BD∵E是CH中点∴F是BD中点∵DCB=90°∴CF=BF=FD∴FCB=FBC回答人的补充2009-06-0602:35如果不明白∵E是CH中点∴F是BD中点可以这么想CE/CF=AE/AF,EH/BF=AE/AFCE/CF=EH/BF,∵CE=EH,∴CF=BF12