2011年江西高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考公式：样本数据11,xy，22,xy，…，,nnxy的线性相关系数niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()())((，其中12nxxxxn，12nyyyyn.锥体的体积公式13VSh，其中S为底面积，h为高.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若1+2iiz,则复数z()A.2iB.2iC.2iD.2i【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，求其共轭复数.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】221+2ii+2ii22iii1z，2iz.2.若集合2{|1213},{|0}xAxxBxx剟?,则AB()A.{|10}xx„B.{|01}xx„C.{|02}xx剟D.{|01}xx剟【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两集合，求其交集.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】11,02,AxxBxx剟?01ABxx„.3.若121()log21fxx,则)(xf的定义域为()A.1,02B.1,02C.1,2D.(0,)【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数解析式，求其定义域.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】12log210,0211,xx1,02x.4.若2()24lnfxxxx,则()0fx的解集为()A.(0,)B.(1,0)(2,)C.(2,)D.(1,0)【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出函数，求出函数导数的不等式的解集.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】242220,0,xxfxxxx（步骤1）0,210,2xxxx.（步骤2）5.已知数列}{na的前n项和nS满足:mnmnSSS,且11a,那么10a()A.1B.9C.10D.55【测量目标】数列的前n项和，由递推关系求数列的通项公式.【考查方式】给出递推关系，求出数列的项.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】221122,1SaaSa(步骤1)31233,1SSSa（步骤2）41344,1SSSa，101a.（步骤3）6.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4）,（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r表示变量Y与X之间的线性相关系数,2r表示变量V与U之间的线性相关系数,则()A.012rrB.120rrC.120rrD.12rr【测量目标】变量的相关系数的判断.【考查方式】由数据得出相关系数之间的关系.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】niiniiniiiyyxxyyxxr12121，第一组变量正相关，第二组变量负相关.7.观察下列各式:56753125,515625,578125,,则20115的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.8125【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前几项指数幂的末尾数，找规律.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】5,4625,53125xfxff,（步骤1）615625,778125,8390625fff，（步骤2）2011420081,20118125f.（步骤3）8.已知123,,aaa是三个相互平行的平面,平面12,aa之间的距离为1d,平面23,aa之间的距离为2d.直线l与123,,aaa分别交于321,,PPP.那么”“3221PPPP是”“21dd的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件、平面与平面间的距离.【考查方式】给出两个条件，判断它们之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】平面123,,aaa平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221PPPP，（步骤1）如果3221PPPP，同样是根据两个三角形全等可知21dd.（步骤2）第8题图9.若曲线02221xyxC：与曲线0)(2mmxyyC：有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.)33,33(B.33(,0)(0,)33C.]33,33[D.33(,)(,)33【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的交点个数，判断直线与圆的位置关系，求出直线方程中实数m的取值范围.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】曲线0222xyx表示以0,1为圆心，以1为半径的圆，（步骤1）曲线0mmxyy表示0y，或0ymxm，（步骤2）过定点0,1，0y与圆有两个交点，故0mmxy也应该与圆有两个交点，（步骤3）由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333mm和，由图可知，m的取值范围应是33,00,33.（步骤4）第9题图10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点,MN在大圆内所绘出的图形大致是()第10题图ABCD【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】给出大圆与小圆的位置关系，求小圆上的点,MN的运动轨迹.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径.第10题图第II卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知2ab，22abab，则a与b的夹角为.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出向量的模及等式，利用平面向量的数量积运算求值.【难易程度】容易【参考答案】60或π3【试题解析】根据已知条件(2)()2abab，（步骤1）2422cos242aabb1cos,602（步骤2）12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于41，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为.【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型，利用面积求解概率.【难易程度】容易【参考答案】1613【试题解析】方法一：不在家看书的概率=2211π×ππ1342π16看电影打篮球所有情况.方法二：不在家看书的概率=1在家看书的概率=12211ππ1324π16.13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】执行程序框图中的语句，求值.【难易程度】容易【参考答案】10【试题解析】0,1sn;代入到解析式当中,01102sn，；  0123s,3n; 3135s,4n; 51410s,（步骤1）此时9s,输出.（步骤2）14.若椭圆12222byax的焦点在x轴上，过点)21,1(作圆122yx的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】结合直线方程及与椭圆的位置关系，利用椭圆的性质求椭圆方程.【难易程度】较难【参考答案】14522yx【试题解析】设过点（1，21）的直线方程为：当斜率存在时，21)1(xky，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=43,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（54,53），（步骤1）当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（54,53）可以得到直线：220xy,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0）2b，与x轴的交点即为焦点1c，根据公式5,5222acba，即椭圆方程为：14522yx.（步骤2）三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为cos4sin2，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】将坐标方程与参数方程联立即可.【难易程度】容易【参考答案】02422yxyx【试题解析】222cos,sin,,xyxy（步骤1）根据已知cos4sin2=24,yx（步骤2）化简可得：22224,yxxy（步骤3）所以解析式为：02422yxyx.（步骤4）15(2).(不等式选讲）对于实数xy，，若11x„，21y„，则12yx的最大值为.【测量目标】解对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式直接求解.【难易程度】容易【参考答案】5【试题解析】11x„02x剟，又21y„13y剟，综上：(21)5,1xy，因为取绝对值最大，即为5.四.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.【测量目标】离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型计算概率，进而求解概率.【难易程度】中等【试题解析】（1）选对A饮料的杯数分别为0，1，2，3，4，其概率分布分别为：044448CC10C70PX，134448CC161C70PX，224448CC362C70PX，314448CC163C70PX，044448CC1(4)C70PX.(步骤1)X01234P170167036701670170（2）1163616135002800210022807070707070E.(步骤2)17.（本小题满分12分）在△ABC中，角CBA,,的对边分别是cba,,，已知2sin1cossinCCC.（1）求Csin的值；（2）若8)(422baba，求边c的值.【测量目标】同角三角函数的基本关系，余弦定理，二倍角公式.【考查方式】对等式进行化简，直接求出角度，利用余弦定理求出边长.【难易程度】中等【试题解析】（1）已知2sin1cossinCCC2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22222CCCCCCC（步骤1）整理即有：012sin22cos22sin02sin2sin22cos