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微专题17函数的零点考题导航题组一确定函数零点或零点的个数有些基本的函数(或分段函数)可以直接(分段)求出它的零点．因为这类题型常常以填空题的形式出现，所以可以借助草图也就是数形结合的方法转化为两个函数图象的交点来思考．1.－3，－12，14，2解析：问题可转化为求方程f(f(x))＝－1的所有根的集合．令t＝f(x)，则f(t)＝－1，即t≤0，t＋1＝－1或t0，log2t＝－1，解得t＝－2或t＝12.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝12，即x≤0，x＋1＝－2或x0，log2x＝－2和x≤0，x＋1＝12或x0，log2x＝12，解得x＝－3或x＝14和x＝－12或x＝2.2.1解析：方法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋13－2＝1，所以f(0)·f(1)0.因为函数f(x)在(0，1)上连续且单调递增，故f(x)在(0，1)上的零点个数是1.方法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象可知所求零点个数为1.1.2解析：本题即求方程f(f(x))＝1的根的个数．令t＝f(x)，则f(t)＝1得t＝0或t＝2，再解方程f(x)＝0和f(x)＝2得x＝1和x＝4.题组二判断函数零点所在区间或零点的大小关系可以利用零点存在定理确定函数在给定区间上是否存在零点或确定零点的大小关系，注意使用条件是函数在给定区间必须是连续的，还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性)来共同确定．1.1解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(0)＝－3，f(1)＝－1，f(2)＝2得零点所在区间为[1，2]．2.x1x3x2解析：解出f(x)＝x－x－1的零点为x1＝3＋521；由基本初等函数的性质知g(x)＝2x＋x的零点x20，再由零点存在定理得h(x)＝x＋lnx的零点x3∈(0，1)．1.2－1解析：先由奇偶性得f(x)＝1－|x＋3|，x≤－1，－log2（1－x），－1x0，log2（x＋1），0≤x1，|x－3|－1，x≥1，可以求出g(x)＝f(x)－12的所有零点为－72，－52，2－1，32，92.题组三利用函数零点求参数的值或取值范围可以利用有关零点的条件挖掘问题中的隐含条件，主要是结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期性)来共同确定，必要时可以借助导数来解决．1.32解析：f(x)＝x2＋2ax＋4a2－3，x≥0，x2－2ax＋4a2－3，x0.①若a＝0，则f(x)＝x2－3，显然f(x)有两个零点，不符合题意；②若a0，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增．因为f(x)有且只有一个零点，所以4a2－3＝0，解得a＝32(负值舍去)；③若a0，则f(x)在区间(－∞，a)上单调递减，在区间(a，0)上单调递增，在区间(0，－a)上单调递减，在区间(－a，＋∞)上单调递增．易知f(x)为偶函数，所以f(x)的最小值为f(a)或f(－a)，所以f(x)不可能只有一个零点，不符合题意．综上所述，a＝32.2.－12，＋∞∪{－1}解析：由题意知关于x的方程x2＋mx－|1－x2|＝0在区间(0，2)上有且只有一解，即方程m＝|1－x2|x－x在区间(0，2)上有且只有一解，从而函数y＝|1－x2|x－x(0x2)的图象与直线y＝m有且只有一个交点．作出函数y＝|1－x2|x－x(0x2)与直线y＝m的图象如下，由图象易知m≥－12或m＝－1.1.解析：(1)方法一：①当a＝0时，f(x)＝－2x＋1，此时f(x)在区间(－2，－1)上没有零点，不符合题意；②当a≠0时，Δ＝a2＋40，因为f(x)在区间(－2，－1)上恰有一个零点，所以f(－2)·f(－1)0，即(6a＋5)(2a＋3)0，解得－32a－56.又a∈Z，所以a＝－1.方法二：因为x∈(－2，－1)，所以x2－x≠0.令f(x)＝0，得a＝2x－1x2－x.令2x－1＝t，t∈(－5，－3)，则x＝t＋12，a＝4tt2－1＝4t－1t，所以a∈－32，－56.又a∈Z，所以a＝－1.(2)由题意得a0，0a＋22a2，Δ＝a2＋40，f（0）0，f（2）0，解得a32，即实数a的取值范围是32，＋∞.2.解析：(1)方法一：因为g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，当且仅当x＝e时，等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，y＝g(x)－m有零点．方法二：作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象，可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.(2)g(x)－f(x)＝0有两个不相等的实根，即g(x)与f(x)的图象有2个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的大致图象．因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，所以其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个不相等的实根，所以m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．冲刺强化训练(17)1.1解析：因为f′(x)＝－1x2－1x(x0)，所以f′(x)0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．因为f(1)＝10，f(e)＝1e－10，所以f(x)有且只有一个零点．2.2解析：因为f′(x)＝1x＋20恒成立，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0，所以函数y＝lnx＋2x－6的零点x0∈(2，3)，所以满足k≤x0的最大整数k＝2.3.74，5解析：依题意，函数f(x)＝3tx2＋(3－7t)x＋4的两个零点α，β满足0α1β2，且函数f(x)的图象过点(0，4)，则必有f（0）0，f（1）0，f（2）0，即40，3t＋3－7t＋40，12t＋6－14t＋40，解得74t5.4.34，1解析：由题意可知y＝f(x)的图象与y＝k的图象有两个不同的交点，由图象可得34k1.5.3解析：作出分段函数f(x)的图象与y＝m的图象，由图象及0m1可知交点个数为3.6.[－1，0]解析：由题意得a＝－2×4x＋2x.令2x＝t，t∈12，1，则设g(t)＝－2×t2＋t＝－2t－142＋18，由函数g(t)的图象可知在区间12，1上单调递减，所以g(t)的值域为[－1，0]，所以实数a的取值范围是[－1，0]．7.±2解析：函数f(x)＝|x＋a|－1－x2有且只有一个零点，等价于方程|x＋a|＝1－x2有且只有一个根，即方程(x＋a)2＝1－x2有且只有一个根，即方程2x2＋2ax＋a2－1＝0有且只有一个根，所以Δ＝4a2－8(a2－1)＝0，解得a＝±2.8.76或116解析：f－56＝f16－1＝sinπ6－1＝－12.因为f－56＋f(m)＝－1，所以f(m)＝sinmπ＝－12.因为1m2，所以m＝76或m＝116.9.0，1e解析：由1ex－ax＝0，得a＝xex，x≠0.令f(x)＝xex，则f′(x)＝1－xex，所以函数f(x)在(－∞，1)上是增函数，且f(x)f(1)＝1e，在(1，＋∞)上是减函数，且0f(x)1e.因为若方程1ex－ax＝0有两个不相等的非零实数根，所以a的取值范围是0，1e.10.(－4，0)解析：由f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)得函数f(x)在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减．因为f(x)有三个零点，所以f（1）0，f（3）0，解得－4a0.11.4解析：由f(x)＝(x－1)sinπx－1＝0(－1x3)得sinπx＝1x－1.令g(x)＝sinπx，h(x)＝1x－1，－1x3，则g(x)，h(x)的图象都是关于点(1，0)对称，所以g(x)与h(x)图象的交点关于点(1，0)对称．又根据函数图象可知，函数g(x)与h(x)有4个交点，分别记为A，B，C，D，则xA＋xB＋xC＋xD＝4.12.74，169解析：易知当0≤x≤2时，y＝－14x2单调递减；当x2时，y＝－12x－34单调递增．因为函数f(x)是R上的偶函数，则函数f(x)在(－∞，－2)和(0，2)上单调递减，在(－2，0)和(2，＋∞)上单调递增．当0≤x≤2时，y＝－14x2∈[－1，0]；当x2时y＝－12x－34∈－1，－34.设t＝f(x)，要使关于x的方程[f(x)]2＋af(x)＋7a16＝0(a∈R)有且仅有8个不同实数根，则t2＋at＋7a16＝0的两个根均在－1，－34，所以a2－7a40，－1－a2－34，1－a＋7a160，916－3a4＋7a160，解得74a169.13.－13，0解析：因为f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x,所以f(x)的图象为折线，且当x∈[－1，0]时，f(x)的图象与当x∈[0，1]时，f(x)的图象关于y轴对称．若函数f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠1)有4个零点，即函数f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有4个交点，因为y＝kx＋k＋1是过定点(－1，1)的直线，所以直线y＝kx＋k＋1在点(－1，1)和点(2，0)的连线，与点(－1，1)和点(3，1)的连线之间.因为点(－1，1)和点(2，0)连线的斜率为－13，点(－1，1)和点(3，1)连线的斜率为0,所以k的取值范围是－13，0.14.(0，3－e)解析：函数y＝|ex－3x|与y＝kx的图象如下图所示，由图可以知道当0kk1时，函数y＝|ex－3x|的图象与y＝kx的图象有四个交点．因为当k＝3－e时，函数y＝3x－ex与y＝kx的图象相切，故k1＝3－e，所以实数k的取值范围为(0，3－e)．15.解析：(1)当a＝2时，f(x)＝2－1x－lnx(x0)，f′(x)＝1x2－1x＝1－xx2.令f′(x)0，解得0x1；令f′(x)0，解得x1，所以函数f(x)在区间(1，e2)上单调递减．因为f(1)＝2－1－ln1＝10，f(e2)＝2－1e2－lne2＝－1e20，所以函数f(x)在区间(1，e2)上有1个零点．(2)f′(x)＝1－xx2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减；当0x1时，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝a－1.①当a－1＝0，即a＝1时，f(x)恰有一个零点，符合题意；②当a－10，即a1时，f(x)0恒成立，不符题意；③当a－10，即a1时，一方面，存在ea1，f(ea)＝－1ea0，另一方面，存在0e－a1，f(e－a)＝2a－ea0，所以函数f(x)有两个零点，不符题意．综上所述，实数a的取值集合为{1}．