微专题4三角函数的综合应用(解析)

微专题4三角函数的综合应用考题导航题组一三角知识与向量的交汇问题1.解析：(1)因为c＝52b，则由正弦定理得sinC＝52sinB.又C＝2B，所以sin2B＝52sinB，即4sinBcosB＝5sinB.又B是△ABC的内角，所以sinB0，故cosB＝54.(2)因为AB→·AC→＝CA→·CB→，所以cbcosA＝bacosC，则由余弦定理，得b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，即a＝c，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝c2＋c2－25c22c2＝35.因为0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝45，所以cosB＋π4＝cosBcosπ4－sinBsinπ4＝35×22－45×22＝－210.1.4－3310解析：方法一：因为a∥b，所以tanθ＝2，所以sin2θ＝2tanθtan2θ＋1＝45，cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35，所以sin2θ＋π3＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×－35＝4－3310.方法二：因为a∥b，所以tanθ＝2，所以sinθ＝255，cosθ＝55，因此sin2θ＝2sinθcosθ＝45，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－35，所以sin2θ＋π3＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×－35＝4－3310.题组二三角知识与不等式的交汇问题1.解析：(1)f(x)＝2cos2x－sin2x－7π6＝(1＋cos2x)－sin2xcos7π6－cos2xsin7π6＝1＋32sin2x＋12cos2x＝1＋sin2x＋π6，所以函数f(x)的最大值是2，此时2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，则x＝kπ＋π6，k∈Z，即x的取值集合为xx＝kπ＋π6，k∈Z.(2)由f(A)＝32得sin2A＋π6＋1＝32，即sin2A＋π6＝12，又A∈(0，π)，所以2A＋π6∈π6，13π6，所以2A＋π6＝5π6，得A＝π3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，由b＋c＝2得bc≤b＋c22＝1，即a2≥1，解得a≥1(舍负)，当且仅当b＝c＝1时实数a的最小值为1.1.2解析：由正弦定理，得bsinC＝csinB．又3bsinC－5c·sinBcosA＝0，所以bsinC(3－5cosA)＝0.因为bsinC≠0，所以3－5cosA＝0，即cosA＝35.又A∈(0，π)，所以sinA＝45.由余弦定理得4＝b2＋c2－65bc≥2bc－65bc＝45bc，所以bc≤5，所以S＝12bcsinA＝25bc≤2.题组三三角知识与导数交汇的问题1.解析：(1)延长PO交MN于点H，则PH⊥MN，所以OH＝10.过点O作OE⊥BC，垂足为E，则OE∥MN，所以∠COE＝θ，故OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ＋10)＝800(4sinθcosθ＋cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ(40－40sinθ)＝1600(cosθ－sinθcosθ)．过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和点K，则GK＝KN＝10.令∠GOK＝θ0，则sinθ0＝14，θ0∈0，π6.当θ∈θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是14，1，故矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ＋cosθ)平方米，△CDP的面积为1600(cosθ－sinθcosθ)平方米，sinθ的取值范围是14，1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，则年总产值为4k×800(4sinθcosθ＋cosθ)＋3k×1600×(cosθ－sinθcosθ)＝8000k(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈θ0，π2.设f(θ)＝sinθcosθ＋cosθ，θ∈θ0，π2，则f′(θ)＝cos2θ－sin2θ－sinθ＝－(2sin2θ＋sinθ－1)＝－(2sinθ－1)(sinθ＋1)，令f′(θ)＝0，则θ＝π6，当θ∈θ0，π6时，f′(θ)0，所以f(θ)为增函数；当θ∈π6，π2时，f′(θ)0所以f(θ)为减函数，所以当θ＝π6时，f(θ)取到最大值，故当θ为π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．1.33解析：因为f(x)＝8sinx－tanx，所以f′(x)＝8cosx－1cos2x＝8cos3x－1cos2x.令f′(x)＝0，得cosx＝12.因为x∈0，π2，所以x＝π3.当x∈0，π3时，f′(x)0，函数f(x)在区间0，π3上是单调增函数；当x∈π3，π2时，f′(x)0，函数f(x)在区间π3，π2上是单调减函数，所以当x＝π3时，函数f(x)取得最大值33.冲刺强化训练(4)1.3π4解析：因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝1，即tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tanαtanβ－11－tanαtanβ＝－1.因为α，β均为锐角，即α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4.2.－1或－5解析：因为对任意实数t都有fπ8＋t＝fπ8－t，所以直线x＝π8为函数f(x)图象的一条对称轴，所以当x＝π8时，sin(ωx＋φ)＝1或－1，所以fπ8＝2＋m或fπ8＝－2＋m，因为fπ8＝－3，所以2＋m＝－3或－2＋m＝－3，解得m＝－5或－1.3.22解析：因为x＝1，x＝5是函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0)图象上两个相邻的极值点，所以T2＝5－1＝4，即T＝8.因为ω0，所以ω＝π4.因为f(x)在x＝2处的导数f′(2)0，所以函数f(x)在区间[1，5]上为减函数，所以f(1)＝cosπ4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2kπ(k∈Z)，即φ＝－π4＋2kπ(k∈Z)，所以f(0)＝cos－π4＝22.4.14π3解析：因为π6是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个零点，所以sinπ3＋φ＝0，取φ＝－π3，可得f(x)＝sin2x－π3.因为x∈(0，2π)，所以2x－π3∈－π3，11π3.显然满足2x－π3＝π2，3π2，5π2，7π2的x的值，都是函数的极值点，即x＝5π12，11π12，17π12，23π12，故函数在区间(0，2π)上所有极值点之和为5π12＋11π12＋17π12＋23π12＝14π3.5.22－π4，1解析：易知函数y＝cosx－xtanx为偶函数，所以只需研究函数在0，π4上的值域．因为y＝cosx－xsinxcosx，所以y′＝－sinx－sinxcosx＋xcos2x≤0对x∈0，π4恒成立，所以y＝cosx－xtanx在0，π4上单调递减，故函数值域为22－π4，1.6.π6解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，因为a2＝3b2＋3c2－23bcsinA，所以2b2＋2c2＝23bcsinA－2bccosA，即b2＋c2＝3bcsinA－bccosA＝2bcsinA－π6.因为b2＋c2≥2bc，所以sinA－π6≥1.因为sinA－π6≤1，所以sinA－π6＝1，即A＝2π3，此时b2＋c2＝2bc，所以b＝c，即B＝C，所以C＝π－2π32＝π6.7.32，2解析：由题意得2sin2A－(1－2sin2A)＝4sin2A－1＝2，解得sinA＝32，所以A＝π3，所以π6Bπ2.y＝2sin2B＋sin2B＋π6＝1－cos2B＋32sin2B＋12cos2B＝sin2B－π6＋1，因为2B－π6∈π6，5π6，所以sin2B－π6∈12，1，所以y＝sin(2B－π6)＋1∈32，2.8.3解析：设BD＝x，AB＝y，由余弦定理得9x2＝9＋y2－32y，又由cosC＝9＋4x2－132×3×2x＝9＋9x2－y22×3×3x，得3x2＝y2－15，联立方程组9x2＝9＋y2－32y，3x2＝y2－15，解得y＝32，x＝1，所以BC＝3BD＝3.9.23解析：由题意得bccosA＋2accosB＝3abcosC，由余弦定理得bc·b2＋c2－a22bc＋2ac·a2＋c2－b22ac＝3ab·a2＋b2－c22ab，整理得a2＋2b2＝3c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－13（a2＋2b2）2ab＝a3b＋b6a≥2a3b·b6a＝23，当且仅当a∶b∶c＝3∶6∶5时等号成立，因此cosC的最小值为23.10.解析：(1)由题意得f(x)＝cos2x－sinx(sinx－23cosx)＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)．令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.(2)由题意得，2sin(2A＋π6)＝1，即sin(2A＋π6)＝12，因为0Aπ，所以π62A＋π613π6，所以2A＋π6＝5π6，即A＝π3.由正弦定理得asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝2×3223＝12.因为C∈0，2π3，所以C＝π6，故B＝π2，所以S△ABC＝12×23×2×sinπ2＝23.11.解析：(1)因为S△ABC＝12AB×BC×sinB＝9，又AB＝6，BC＝5，所以sinB＝35.又B∈(0，π)，所以cosB＝±1－sin2B＝±45.当cosB＝45时，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋25－2×6×5×45＝13；当cosB＝－45时，AC＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋25＋2×6×5×45＝109，所以AC＝13或109.(2)由△ABC为锐角三角形得B∈0，π2，所以AB＝6，BC＝5，AC＝13，所以cosA＝36＋13－252×6×13＝213.又A∈0，π2，所以sinA＝1－cos2A＝313，所以sin2A＝2×313×213＝1213，cos2A＝2132－3132＝－513，所以cos2A＋π6＝cos2Acosπ6－sin2Asinπ6＝－53－1226.12.解析：(1)因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OS⊥MN.在Rt△OSM中，因为OS＝1，∠MOS＝α，所以SM＝tanα.在Rt△OSN中，∠NOS＝2π3－α，所以SN＝tan2π3－α，所以MN＝tanα＋tan2π3－α＝3（tan2α＋1）3tanα－1，其中π6απ2.(2)因为π6απ2，所以3tanα－10.令t＝3tanα－10，则tanα＝33(t＋1)，所以MN＝33t＋4t＋2.由基本不等式得MN≥332t×4t＋2＝23，当且仅当t＝4t，即t＝2时等号成立，此时tanα＝3，由于π6απ2，故α＝π3，MN＝23千米．