江苏省2019高考数学二轮复习微专题6隐形圆问题课件201903.pdf

微专题6隐形圆问题微专题6　隐形圆问题题型一　与圆的切线有关的隐性圆例1　已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围是　　　    .答案     ∪  5,25,2解析　由∠APB=60°,得∠APO=30°,PO=2OA=2,则点P的轨迹是以点O为圆心,2为半径的圆,方程为x2+y2=4.又直线l上存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+y2=4相切或相交,则 ≤2.解得a≤- 或a≥ .231a5252【方法归纳】    与圆的切线相关的问题,一般连接圆心与切点,在直角三角形中利用边角关系转化,最终求出动点的轨迹方程(即隐性圆),将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系求解. 1-1　已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得四边形OAPB为正方形,则实数a的取值范围是　　　    .答案    ∪  14,214,2解析　由四边形OAPB为正方形,得∠APB=90°.所以∠APO=45°,PO= OA= .所以点P的轨迹是以点O为圆心, 为半径的圆,方程为x2+y2=2.又直线l上存在点P,所以直线l:ax+y=3与圆x2+y2=2相切或相交,则 ≤ ,解得a≤-       或a≥ .222231a2142142题型三　与相交弦有关的隐性圆例2    (2017连云港高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是　　　    .答案　[- , ]22解析　由AB=2 =2GO,得GO2+CG2=3.设点G(x,y),则x2+y2+(x+2)2+(y-m)2=3.整理,得(x+1)2+ = ,m2≤2,此即为点G的轨迹方程.又点G在圆C的内部,则  + .两边平方并化简,得 -  恒成立.所以只要m2≤2即可.故m的取值范围是[- , ].23CG22my224m214m3224m22m5223(2)m22【方法归纳】    当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦长、半径构成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题的关键. 2-1　已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB= ,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则| + |的取值范围是　　　    .3PAPB答案　[7,13]解析　设AB的中点为Q,则OQ= ,点Q的轨迹方程是x2+y2= .所以 =2 .又点P在圆C上,OC=5,所以 ∈ .所以 ∈[7,13].1214PAPBPQPQ713,22PAPB2-2　已知A,B是圆O:x2+y2=9上的动点,且直线AB过定点M(2,0),P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,则 的取值范围是　　　    .PAPB答案　[4 -8,4 +8]55解析　设AB的中点为Q,则OQ⊥QM,即点Q在以OM为直径的圆上,点Q的轨迹方程是(x-1)2+y2=1.所以 =2 .又点P在圆C上,圆心距为2 ,则 ∈[2 -4,2 +4].所以 ∈[4 -8,4 +8].PAPBPQ5PQ55PAPB552-3   (2018泰州中学高三月考)已知动直线y=kx+4-3k与函数f(x)= 的图象交于A,B两点,点P (x, y) 是平面上的动点,且满足| + |=2,则x2+y2的取值范围为　　　    .4113xxPAPB答案　[16,36]解析　函数f(x)的图象关于点C(3,4)对称,直线y=k(x-3)+4也经过点C(3,4),所以A,B两点关于点C对称, =2 =2, =1,即点P的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆,圆心C到原点的距离是5.所以圆C上的点到原点的距离 ∈[4,6],则x2+y2∈[16,36].PAPBPCPC22xy1.(2018扬州中学高三模拟)若直线kx-y-k+2=0与直线x+ky-2k-3=0交于点P,则OP长度的最大值为　　　    .答案　2 +12解析　直线kx-y-k+2=0恒过点A(1,2),直线x+ky-2k-3=0恒过点B(3,2),且两直线垂直,则它们的交点P的轨迹是以AB为直径的圆,方程是(x-2)2+(y-2)2=1.又圆心(2,2)到原点O的距离为2 ,所以OP长度的最大值为2 +1. 222.(2017南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为　　 　    .答案　3  2解析　由题意可得,直线l1恒过定点(0,2),直线l2恒过定点(2,0),且l1⊥l2,则点P的轨迹是以(0,2)和(2,0)为直径两端点的圆,方程为(x-1)2+(y-1)2=2.又圆心(1,1)到直线x-y-4=0的距离为 =2 ,所以点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3 .|114|2223.(2017江苏扬州高三期末)已知△ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心的单位圆上一动点,点Q满足 =  +  ,则| |的最小值是　        .AQ23AP13ACBQ答案     -  723解析　以点A为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设P(x0,y0),Q(x,y),则x02+y02=1, 所以 代入 + =1,得(x-1)2+y2= ,此即为点Q的轨迹方程.又B ,则点B到圆心(1,0)的距离为 ,所以| |的最小值是 - .0021,32.3xxyy003(1),23.2xxyy20x20y49333,227BQ723