高中数学讲义微专题12--复合函数零点问题

-1-微专题12复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设yft，tgx，且函数gx的值域为ft定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为yfgx2、复合函数函数值计算的步骤：求ygfx函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知22,xfxgxxx，计算2gf解：2224f2412gfg3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知2xfx，22gxxx，若0gfx，求x解：令tfx，则2020gttt解得0,2tt当0020xtfx，则x当2222xtfx，则1x综上所述：1x由上例可得，要想求出0gfx的根，则需要先将fx视为整体，先求出fx的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设fx的定义域为D，若存在0xD，使得00fx，则称0xx为fx的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程0gfx根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于fx的方程，观察有几个fx的值使得等式成立；第二层是结合着第一层fx的值求出每一个fx被几个x对应，将x的个数汇总后即为0gfx的根的个数6、求解复合函数ygfx零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出,fxgx的图像-2-（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于fx的方程0gfx中fx解的个数，再根据个数与fx的图像特点，分配每个函数值ifx被几个x所对应，从而确定ifx的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R的函数1,111,1xxfxx，若关于x的方程20fxbfxc由3个不同的解123,,xxx，则222123xxx______思路：先作出fx的图像如图：观察可发现对于任意的0y，满足0yfx的x的个数分别为2个（000,1yy）和3个（01y），已知有3个解，从而可得1fx必为20fxbfxc的根，而另一根为1或者是负数。所以1ifx，可解得：1230,1,2xxx，所以2221235xxx答案：5例2：关于x的方程22213120xx的不相同实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8思路：可将21x视为一个整体，即21txx，则方程变为2320tt可解得：1t或2t，则只需作出21txx的图像，然后统计与1t与2t的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数11()||||fxxxxx，关于x的方程2()()0fxafxb（,abR）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．-3-思路：所解方程2()()0fxafxb可视为20fxafxb，故考虑作出fx的图像：2,12,012,102,1xxxxfxxxxx，则fx的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有122,02fxfx，所以122,4afxfx，解得42a答案：42a例4：已知定义在R上的奇函数，当0x时，121,0212,22xxfxfxx，则关于x的方程2610fxfx的实数根个数为（）A.6B.7C.8D.9思路：已知方程2610fxfx可解，得1211,23fxfx，只需统计11,23yy与yfx的交点个数即可。由奇函数可先做出0x的图像，2x时，122fxfx，则2,4x的图像只需将0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数32fxxaxbxc有极值点12,xx，且11fxx，则关于x的方程2320fxafxb的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6-4-思路：'232fxxaxb由极值点可得：12,xx为2320xaxb①的两根，观察到方程①与2320fxafxb结构完全相同，所以可得2320fxafxb的两根为1122,fxxfxx，其中111fxx，若12xx，可判断出1x是极大值点，2x是极小值点。且2211fxxxfx，所以1yfx与fx有两个交点，而2fx与fx有一个交点，共计3个；若12xx，可判断出1x是极小值点，2x是极大值点。且2211fxxxfx，所以1yfx与fx有两个交点，而2fx与fx有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：已知函数243fxxx，若方程20fxbfxc恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是（）A.2,0B.2,1C.0,1D.0,2思路：考虑通过图像变换作出fx的图像（如图），因为20fxbfxc最多只能解出2个fx，若要出七个根，则121,0,1fxfx，所以121,2bfxfx，解得：2,1b答案：B例7：已知函数xxfxe，若关于x的方程210fxmfxm恰有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.1,22,eeB.1,1eC.11,1eD.1,ee-5-思路：,0,0xxxxefxxxe，分析fx的图像以便于作图，0x时，'1xfxxe，从而fx在0,1单调递增，在1,单调递减，11fe，且当,0xy，所以x正半轴为水平渐近线；当0x时，'1xfxxe，所以fx在,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于fx的方程210fxmfxm中，12110,,,fxfxee，从而将问题转化为根分布问题，设tfx，则210tmtm的两根12110,,,ttee，设21gttmtm，则有20010111100gmmmgeee，解得11,1me答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8：已知函数21,0log,0axxfxxx，则下列关于函数1yffx的零点个数判断正确的是（）A.当0a时，有4个零点；当0a时，有1个零点B.当0a时，有3个零点；当0a时，有2个零点C.无论a为何值，均有2个零点D.无论a为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程1ffx的解的个数，先作出fx的图像，直线1yax为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a时，图像如图所示，先拆外层可得12210,2fxfxa，而1fx有两个对应的x，2fx也-6-有两个对应的x，共计4个；当0a时，fx的图像如图所示，先拆外层可得12fx，且12fx只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A例9：已知函数232211,0231,31,0xxfxxxgxxx，则方程0gfxa（a为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析,fxgx的性质以便于作图，'23632fxxxxx，从而fx在,0,2,单增，在0,2单减，且01,23ff，gx为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取fx能对应x较多的情况，由fx图像可得，当3,1fx时，每个fx可对应3个x。只需判断gfxa中，fx能在3,1取得的值的个数即可，观察gx图像可得，当51,4a时，可以有2个3,1fx，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个-7-例10：已知函数yfx和ygx在2,2的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程0fgx有且只有6个根（2）方程0gfx有且只有3个根（3）方程0ffx有且只有5个根（4）方程0ggx有且只有4个根则正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x的总数。（1）中可得1232,1,0,1,2gxgxgx，进而1gx有2个对应的x，2gx有3个，3gx有2个，总计7个，（1）错误；（2）中可得122,1,0,1fxfx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得1232,1,0,1,2fxfxfx，进而1fx有1个对应的x，2fx有3个，3fx有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：122,1,0,1gxgx，进而1gx有2个对应的x，2gx有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有2个答案：B