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微专题16分段函数考题导航题组一分段函数的性质与应用以分段函数为载体考查函数的性质与应用，常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合．在利用分段函数的图象解决问题时，要特别注意函数的定义域的限制及其关键点(如端点、最值点等)的准确性．1.－∞，138解析：由f（x1）－f（x2）x1－x20知f(x)是R上的减函数，所以a－20，2（a－2）≤122－1，由此解得a≤138.2.2解析：当x12时，fx＋12＝fx－12，即当x1时，f(x)＝f(x－1)，由周期性得f(6)＝f(1)．当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．当x0时，f(x)＝x3－1，所以f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.3.－∞，－18∪[1，＋∞)解析：因为f(x)max＝14，所以2m2－74m≥14，解得m≥1或m≤－18.1.－25解析：因为f－52＝f－12＝f92＝f12，所以－12＋a＝12－25，即a＝35，所以f(5a)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－25.题组二分段函数的图象与零点已知函数的零点个数确定参数的取值范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想建立参数的不等式．对于比较复杂的函数通常是先转化为两个新函数的交点个数问题，再利用图象的直观性求解．1.(3，＋∞)解析：由图象知4m－m2m，m0，解得m3.2.(1，2)解析：由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|.分别作出y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图．易知当a≤0时，不满足条件，所以a0.当a≥2时，y＝f(x)与y＝a|x|的图象有3个交点；当x≤0时，令－x2－5x－4＝－ax得x2＋(5－a)x＋4＝0，当Δ＝(5－a)2－16＝0，即a＝1(a＝9舍去)时，y＝f(x)与y＝a|x|的图象有5个交点，所以要使函数y＝f(x)－a|x|恰有四个零点，则1a2.1.(12，1e)解析：函数f(x)＝mx－12恰有四个不相等的零点可化为函数f(x)＝1－x2，x≤1，lnx，x1与函数y＝mx－12的图象有四个不同的交点，作函数f(x)＝1－x2，x≤1，lnx，x1与函数y＝mx－12的图象如下，易知点C0，－12，B(1，0)，则kBC＝12.当x1时，f(x)＝lnx，f′(x)＝1x.设切点A的坐标为(x1，lnx1)，则lnx1＋12x1－0＝1x1，解得x1＝e，故kAC＝1e.结合图象可得，实数m的取值范围是12，1e.题组三分段函数与其他知识点的综合求以分段函数为载体的不等式的解集，最常用的方法就是分段求解，最后求每一段的解集的并集．如果分段函数的性质比较明了，那么可能会用到数形结合．1.(－2，1)解析：因为函数f(x)在R上单调递增，所以由f(2－a2)f(a)，得2－a2a，解得a∈(－2，1)．2.1e，1解析：①当t≥1时，f(t)≤kt恒成立等价于k≥lntt.设g(x)＝lnxx(x≥1)，g′(x)＝1－lnxx2，令g′(x)＝0，得x＝e，所以g(x)在区间(1，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝1e，所以k≥1e.②当t＜1时，f(t)≤kt恒成立，等价于－|t3－2t2＋t|≤kt恒成立．当0＜t＜1时，等价于－|t2－2t＋1|≤k恒成立，即－(t－1)2≤k恒成立，所以k≥0；当t＝0时，k∈R；当t＜0时，－|t3－2t2＋t|≤kt恒成立等价于t2－2t＋1≥k恒成立，所以k≤1.综上所述实数k的取值范围是1e，1.1.[－2，2]解析：因为f(x)≥|x2＋a|，所以－f(x)≤x2＋a≤f(x)在R上恒成立，所以－f(x)－x2≤a≤f(x)－x2在R上恒成立，所以－f（x）－x2max≤a≤f（x）－x2min.y＝f(x)－x2＝|x|＋2－x2，x1，x＋2x－x2，x≥1＝－3x2＋2，x0，x2＋2，0≤x1，x2＋2x，x≥1，画出y＝f(x)－x2的图象，可知函数y＝f(x)－x2的最小值为2；同理可求得y＝－f(x)－x2的最大值为－2，所以a∈[－2，2]．冲刺强化训练(16)1.53或－2解析：由题意得f(x)＝x2，x1，cosx，x≥10，3x－1，1≤x10，当x1时，令x2＝4，得x＝－2；当1≤x10时，令3x－1＝4，得x＝53；当x≥10，cosx不可能为4，所以输入实数x的值为53或－2.2.－12，＋∞解析：当x≥12时，f(x)＝log2x≥－1；当x12时，f(x)＝－x＋a在区间－∞，12上单调递减．因为函数f(x)的最小值是－1，所以－12＋a≥－1，即a≥－12.3.(－∞，－1]∪[8，＋∞)解析：当x≤1时，12x≥2，解得x≤－1；当x1时，log2x－1≥2，解得x≥8.4.14，12解析：由题意得f(x0)＝x0＋12，x0＋12∈12，1，所以f(f(x0))＝21－x0＋12＝2(12－x0)．又因为f(f(x0))∈A，所以0≤212－x012，解得14x0≤12.又因为x0∈0，12，所以x0∈14，12.5.(－3，1)∪(3，＋∞)解析：由题意得x≥0，x2－4x＋63或x0，x＋63，解得x∈(－3，1)∪(3，＋∞)．6.022－3解析：f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，所以f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.当x≥1时，f′(x)＝（x＋2）（x－2）x2，所以f(x)在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间(1，＋∞)上有最小值f(2)＝22－3；当x1时，f′(x)＝2x（x2＋1）ln10，所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，所以f(x)在区间(－∞，1)上有最小值f(0)＝0，所以f(x)的最小值为f(2)＝22－3.7.－4，54∪[2，＋∞)解析：易知y＝x2与y＝－2x＋8的图象有两个交点(－4，16)，(2，4)，y＝2x＋3与y＝－2x＋8的图象有一个交点54，112.若方程f(x)＋2x－8＝0恰有两个不相等的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝－2x＋8共有两个交点，若两个交点均为y＝－2x＋8与二次函数y＝x2的交点，则a≥2；若两个交点为直线y＝－2x＋8与直线y＝2x＋3及曲线y＝x2的交点，则－4≤a54.综上所述，a∈－4，54∪[2，＋∞)．8.0解析：因为f(x)为奇函数，且当x＝0时函数有意义，所以f(0)＝0，即acos0－3sin0＋c＝a＋c＝0.9.23，＋∞解析：令f(a)＝t，则f(t)＝2t，所以t≥1，即f(a)≥1，所以3a－1≥1且a1或2a≥1且a≥1，解得a≥23.10.(10，12)解析：作出函数f(x)的图象如图，不妨设a＜b＜c，则－lga＝lgb＝－12c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0＜－12c＋6＜1，所以abc＝c∈(10，12)．11.[1，4]解析：当x∈0，12时，函数f(x)为减函数，所以f(x)∈12，1；当x∈12，1时，函数f(x)为减函数，f(x)∈0，12，所以f(x)在区间[0，1]上的值域为[0，1]．当x∈[0，1]时，sinπ6x∈0，12，所以g(x)∈2－a，2－a2.若存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则函数g(x)的最大值与最小值中至少一个在区间[0，1]上，所以0≤2－a≤1或0≤2－a2≤1，解得1≤a≤4，即实数a的取值范围是[1，4]．12.(－∞，－2]解析：由f(x)的图象易知f(x)在R上单调递减．因为关于x的不等式f(x＋a)≥f(2a－x)在区间[a，a＋1]上恒成立，所以x＋a≤2a－x在区间[a，a＋1]上恒成立，即有a≥2x在区间[a，a＋1]上恒成立，即a≥2(a＋1)，解得a≤－2.13.1解析：f43＝f43－1＋1＝f13＋1＝f(13－1)＋2＝f－23＋2＝cos－2π3＋2＝32，f－43＝cos－4π3＝－12，所以f43＋f－43＝1.14.解析：(1)因为0c1，所以c2c.因为f(c2)＝98，即c3＋1＝98，所以c＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x＋1，0x12，2－4x＋1，12≤x1.由于f(x)28＋1，当0x12时，解得24x12；当12≤x1时，解得12≤x58.所以f(x)28＋1的解集为x|24x58.