利用导数研究函数的极值和最值问题

利用导数研究函数的极值和最值问题１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（１）确定函数的定义域．（２）求)(xf．（３）①若求极值，则先求方程0)(xf的全部实根，再检验)(xf在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程0)(xf的根的大小或存在情况，从而求解．２．求连续函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值的步骤：（１）求函数)(xfy在ba,内的极值；（２）将函数)(xfy的各极值与端点处的函数值)(af，)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.例1.(2018北京,18,13分)设函数xeaxaaxxf3414)(2.(1)若曲线)(xfy在点1,1f处的切线与x轴平行,求a;(2)若)(xf在2x处取得极小值,求a的取值范围.解析(1)因为xeaxaaxxf3414)(2,所以xexaaxxf212)(2，eaf1)1(.由题设知f'(1)=0,即01ea,解得1a.此时03)1(ef.所以a的值为1.(2)由(1)得xxexaxexaaxxf21212)(2.若21a,则当2,1ax时0)(xf;当,2x时,0)(xf.所以)(xf在2x处取得极小值.若21a,则2,0x时,02x,01211xax,所以0)(xf,所以2不是)(xf的极小值点.综上可知,a的取值范围是，21。方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.(2)已知函数求极值.求f'(x)→求方程f'(x)=0的根→列表检验f'(x)在f'(x)=0的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f'(x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反.例2.(2017北京,19,13分)已知函数xxexfxcos)(.(1)求曲线)(xfy在点)0(,0f处的切线方程;(2)求函数)(xf在区间2,0上的最大值和最小值.解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.(1)因为xxexfxcos)(,所以1sincos)(xxexfx,0)0(f.又因为1)0(f,所以曲线)(xfy在点)0(,0f处的切线方程为1y.(2)设1sincos)(xxexhx,则xexxxxexhxxsin2cossinsincos)(.当2,0x时,0)(xh,所以)(xh在区间2,0上单调递减.所以对任意2,0x有0)0()(hxh,即0)(xf.所以函数f(x)在区间2,0上单调递减.因此)(xf在区间2,0上的最大值为1)0(f,最小值为22f.解题思路：(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程。(2)设1sincos)(xxexhx,对)(xh求导,进而确定)(xh的单调性,最后求出最值.方法总结1.求切线方程问题:(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.2.利用导数研究函数的单调性:(1)求出函数)(xf的定义域;(2)求出函数)(xf的导函数)(xf;(3)令0)(xf得到)(xf在定义域内的单调递增区间；令0)(xf得到)(xf在定义域内的单调递减区间.例3.(2014北京,18,13分,0.52)已知函数xxxxfsincos)(,2,0x.(1)求证:0)(xf;(2)若bxxasin，对2,0x恒成立,求a的最大值与b的最小值.解析(1)由xxxxfsincos)(得xxxxxxxfsincossincos)(.因为在区间2,0上0sin)(xxxf,所以)(xf在区间2,0上单调递减.从而0)0()(fxf.(2)当0x时,“axxsin”等价于“0sinaxx”,“bxxsin”等价于“0sinbxx”.令cxxxgsin)(,则cxxgcos)(.当0c时,0)(xg对任意2,0x恒成立.当1c时,因为对任意2,0x,0cos)(cxxg,所以)(xg在区间20，上单调递减.从而0)0()(gxg对任意2,0x恒成立.当10c时,存在唯一的2,00x使得0cos)(00cxxg.)(xg与)(xg在区间2,0上的情况如下:因为)(xg在区间0,0x上是增函数,所以0)0()(0gxg.进一步,“0)(xg对任意2,0x恒成立”当且仅当0212cg,即20c.综上所述,当且仅当20时,0)(xg对任意2,0x恒成立;当且仅当1c时,0)(xg对任意2,0x恒成立.所以,若bxxasin对任意2,0x恒成立,则a的最大值为2,b的最小值为1.思路分析：(1)利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,从而证明不等式成立.(2)把不等式进行恒等变形,然后把恒成立问题转化成最值问题.解后反思：不等式恒成立问题的解决步骤:一般先对不等式的特征进行分析,可以分离参变量,或者将不等式等价变形,然后转化为最值问题.总结？？？？？？？x0,0x0x2,0x)(xg+0-)(xg↗↘