函数极值问题的探讨.

函数极值问题的探讨目录1引言……………………………………………………………………12一元函数极值问题的求解……………………………………………12.1极值的求解步骤………………………………………………………22.2极值的求法实例分析…………………………………………………23二元函数极值问题的求解……………………………………………33.1极值的求解步骤………………………………………………………43.2二元函数极值的矩阵求法……………………………………………74三角函数极值问题的求解84.1关于正弦，余弦函数极值的求法84.2关于正弦，余弦二次函数极值的求法84.3有条件制约的三角函数极值的求法95条件极值与拉格朗日乘数法95.1拉格朗日乘数法105.2条件极值的求法步骤115.3条件极值的求解方法及实例分析116极值问题在实际生活中的应用136.1极值理论拯救生命136.2极值理论在其他行业的应用147小结14参考文献15致谢16丽水学院2012届学生毕业论文1函数极值问题的探讨理学院数学082本田睿指导师：金云娟摘要本文从一元函数极值,二元函数极值,三角函数极值,条件极值四个方面对函数极值问题的求法与应用展开讨论,通过以上讨论，旨在为以后的学习和实际工作带来一定的方便.关键词极值;三角函数;一元函数;二元函数;条件极值1引言函数极值问题是数学课程的重要内容，是有关函数的一个重要研究课题，对于掌握函数有重要的作用.在有关函数极值的相关问题中，函数极值的求法是其中的重点和难点，因为不同的函数有不同的求解方法，所以受到人们的普遍关注，研究成果丰富.近些年来，有关的研究中都有关于函数极值问题的讨论，并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值的有关见解，使得函数极值问题有了更大的发展.本文主要研究一元函数，二元函数，三角函数极值，条件极值的求法以及应用，重点解决有关函数极值的求解方法和应用，在介绍方法时给出了例题，有助于对函数极值的理解，为更好的学习提供更好的帮助，能快速、清晰的解决数学问题.2一元函数极值问题的求解定义1[1]（一元函数极值的定义）设函数)(xf在0x的某个邻域有定义，如果对0x该邻域的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值.如果该邻域的所有的点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值.极大值和极小值统称为极值.定理1[1]（费马定理）极值的必要条件设函数)(xf在区间I有定义（1）)(xf在0x可导；（2）)(00Ixx是)(xf的极值点；则.0)('xf定理2[2]（极值的第一充分条件）设函数)(xf在点0x的某邻域内连续且可导(导数)('0xf也可不存在),丽水学院2012届学生毕业论文2如果0)('0)('xfxf00xxxx，则0x是)(xf的极大值点；如果0)('0)('xfxf00xxxx，则0x是)(xf的极小值点；如果在0x点的邻域内，)('0xf不变号，则0x不是)(xf的极值点.定理3[2]（极值第二充分条件）设函数)(xf在0x二阶可导，0)('0xf，0)(''0xf则为极大值；0)(''0xf则为极小值.定理4[2]（极值的第三充分条件）设)(xf在0x的某领域内存在直到1n阶导函数，在0x处n阶可导且()()0(1,21),kfxkn()()0nfx,则当n为偶数时，)(xf在0x处取得极值，且当()()0nfx时取极大值，()()0nfx时取极小值.当n为奇数时，()fx在0x处不取极值.2.1极值的求解步骤函数()fx的定义域；并求'()fx，并在定义域内求'()0fx的点（驻点）和'()fx不存在的点；对于驻点可利用极值的第一充分条件或极值的第二充分条件判定，对于导数不存在的点利用极值的第一充分条件确定函数的极值点；④求出各极值点的函数值，得到函数的极值.2.2极值的求法实例分析例1[3]求32()(25)fxxx的极值点和极值.（极值第一充分条件）解523233()(25)25fxxxxx在(,)上连续，且当0x时，有213331010101()333xfxxxx丽水学院2012届学生毕业论文3易见，1x为f的稳定点，0x为f的不可导点，这两点是否是极值点，需要做进一步讨论，现列表如下（表中表示递增，表中表示递减）x(,0)0(0,1)1(1,)y+不存在-0+y0-3例2求函数11)(32xxf的极值（极值第二充分条件）解(1).1622xxxf(2).令0xf求得驻点.1,0,1321xxx(3).151622xxxf(4).因060f所以xf在0x处取得极小值极小值为00f(5).因011ff在1的左右邻域内0xf所以xf在1处没有极值同理xf在1处也没有极值例3试求函数43(1)xx的极值.（极值第三充分条件）解由于32()(1)(74)fxxxx因此40,1,7x是函数的三个稳定点，f的二阶导数22()6(1)(782)fxxxxx由此得4(0)(1)0,()07fff所以()fx在47x时取得极小值.求三阶导数,有32()6(3560304)(0)0,(1)0.fxxxxxff由于3n为奇数，知)(xf在1x处不取极值.再求四阶导数(4)32()24(3545151),fxxxx有(4)(0)0f.因为4n为偶数，故()fx在0x取得极大值，综上所述，()fx在0x为极大值,434436912()()()777823543f为极小值.丽水学院2012届学生毕业论文43二元函数极值问题的求解定义2[4]（二元函数极值的定义）设函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义,对于该邻域内任一异于),(00yx的点),(yx,如果00(,)(,)fxyfxy,则称函数在点),(00yx处有极大值),(00yxf；如果00(,)(,)fxyfxy,则称函数在点),(00yx处有极小值),(00yxf；定理5[4]极值的充分条件设函数(,)zfxy在点0,0()xy的某邻域0()up连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果0,0()0,nfxy0,0()0,yfxy设00000(,),(,),(,),nnoxyyyAfxyBfxyCfxy则当2BACo时，0(,)ofxy一定为极值，并且当A（或C）0时，0(,)ofxy为极小值；当A（或C）0时，00(,)fxy为极大值；当20BAC时，00(,)fxy不是极值；当20BAC，还不能断定00(,)fxy是否为极值，须作进一步研究对这一定理不作证明，仅介绍它的记忆方法：200000xxxyyxyyAAffABACBffBC极小值极大值无无法判定.定理6[4]极值的必要条件若函数()fx在点000(,)pxy存在偏导数且在0p取极值，则有0000(,)0,(,)0xyfxyfxy．反之，若函数()fx在点0p满足(7.1)式，则称点0p为f的稳定点或驻点.3.1极值的求解步骤丽水学院2012届学生毕业论文53.1.1二元显函数极值的求解步骤对于二元显函数的自由极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1.定义多元函数),(yxfz步骤2.求解正规方程0),(,0),(yxfyxfyx,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数,,,22222yzCyxzBxzA步骤4.对于每一个驻点),(00yx,计算判别式2BAC,如果02BAC,则该驻点是极值点,当0A为极小值,0A为极大值;,如果02BAC,判别法失效,需进一步判断;如果02BAC,则该驻点不是极值点.3.1.2二元隐函数极值的求解步骤对于隐函数(,)0Fxy确定的函数的极值求解步骤归纳如下：利用隐函数求导方法求出(,)(,)Jxyygxy.求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即(,)0,(,)fxygxyo不存在的点，(,)0,(,)0fxygxy存在的点；有的隐函数还测你在同时即是导数等于零的点又是导数（如例3中的（0,0）点），即(,)0,(,)0fxygxy的点，对于(,)0,(,)0fxygxy的点一般用第二充分条件判断；对于(,)0,(,)0fxygxy，用反证法说明或从函数方程来考虑，对于(,)0,(,)0fxygxy的点只能从函数本身来考虑.3.1.3极值的求法实例分析例4求函数xyxyxyxf933),(2233的极值.解先解方程组22(,)3690,(,)360,xyfxyxxfxyyy求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）.丽水学院2012届学生毕业论文6再求出二阶偏导数(,)66,(,)0,(,)66xxxyyyfxyxfxyfxyy.在点(1,0)处，21260ACB又0A，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f；在点(1,2)处，0)6(122BAC，所以f(1,2)不是极值；在点(-3,0)处，06122BAC，所以f(-3,0)不是极值；在点(-3,2)处，0)6(122BAC又0A所以函数在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31.例5[5]某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：221514328210Rxyxyxy．⑴在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略．解⑴利润函数为)(),(yxRyxL221028311315yxxyyx，求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：.020831,04813yxyLxyxL解得75.0x，25.1y．则)25.1,75.0(为),(yxL惟一的驻点.又由题意，),(yxL可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到．所以最大利润为25.39)25.1,75.0(L万元.因此，当电视广告费与报纸广告费分别为75.0万元和25.1万元时，最大利润为25.39万元，此即为最佳广告策略.⑵求广告费用为1．5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件5.1yx下，求),(yxL的最大值.作拉格朗日函数),(),(),(yxyxLyxF丽水学院2012届学生毕业论文7)5.1(102831131522yxyxxyyx．求函数),(yxF的各个偏导数，并令它们为0，得方程组13840,318200.FyxxFxyy并和条件5.1yx联立解得0x，5.1y．这是惟一的驻点，又由题意，),(yxL一定存在最大值，故39)5.1,0(L万元为最大值.注：本题也可由5.1yx，解得xy5.1，代入目标函数转换成一元函数求解.3.2二元函数极值的矩阵求法定理7[6]设000(,)xxy是()(,)FxFxy的一个稳定点，0(())xyHFx是F(x)在a处的何塞矩阵.如果H是定值，则()Fx在0x处达到极小值，如果H是负定的，则()Fx在0x处到达极大值，如果H不是定值，则()Fx在0x处既不是极小值也不是极大值.3.2.2极值的求解步骤求稳定点;判断在稳定点处何塞矩阵的正定性;根据何塞矩阵的正定性判断稳定点是否为极值