32--解三角形中的不等问题-高中数学讲义微专题Word版

微专题32解三角形中的不等问题一、基础知识：1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc（2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式）（3）22sinsinsinbcBCaA2、余弦定理：2222cosabcbcA变式：2221cosabcbcA此公式在已知,aA的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的最值3、三角形面积公式：（1）12Sah（a为三角形的底，h为对应的高）（2）111sinsinsin222SabCbcAacB（3）211sin2sin2sinsin2sinsinsin22SabCRARBCRABC（其中R为外接圆半径）4、三角形内角和：ABC，从而可得到：（1）正余弦关系式：sinsinsinABCBCcoscoscosABCBC（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的5、两角和差的正余弦公式：sinsincossincosABABBAcoscoscossinsinABABAB6、辅助角公式：22sincossinaAbBabA，其中tanba7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sinsincoscosabABABAB其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有效。8、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（2）利用均值不等式求得最值二、例题精析：例1：△ABC各角的对应边分别为cba,,，满足 1bcacab，则角A的范围是A．(0,]3B．(0,]6C．[,)3D．[,)6思路：从所给条件入手，进行不等式化简：1bcacab222babcacacabbcabc，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示cosA：222bcabc2221cos22bcaAbc，可解得：0,3A答案：A例2：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin3cosacCA（1）求A的大小（2）若6a，求bc的取值范围解：（1）由条件sin3cosacCA可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”sinsin1sinsin3cos3cosacACCCAAtan3A3A（2）思路：考虑在ABC中，已经已知,Aa，从而可求出外接圆半径R，进而,BC与,bc也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用60A这个条件，考虑利用角来解决解：43sinsinsinbcaBCA43sin,bB43sincC3A2233BCCB243sinsin43sinsin3bcBCBB313143sincossin12sincos12sin22226BBBBBB203B51,,sin,166662BB6,12bc例3：在锐角ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2cos2bCac（1）求角B（2）求sinsinAC的取值范围解：（1）方法一：使用余弦定理2222cos2222abcbCacbacab222222bcaacbacac由余弦定理得：2222cosbacacB1cos23BB方法二：观察等式,,abc齐次，考虑使用正弦定理2cos22sincosC2sinAsinCbCacB2sincos2sinsinsin2sincosBCBCCCCB1cos23BB（2）2233ACCA223131sinsinsincossinsincossin32222AAAAAAAA31cos211sin2sin244264AAAABC为锐角三角形,,0,2ABC02262032AAA52,666A1sin2,162A13sinsin,24AC小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而C用A代换，所以C满足锐角的条件也由A来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例4：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sinsinsinACpBpR，且214acb（1）当5,14pb时，求,ac的值（2）若角B为锐角，求p的取值范围解：（1）555sinsinsin444ACBacb14ac5141144aaccac或141ac（2）思路：以“角B为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而21,4acpbacb也刚好得到p与cosB的关系式，再由0cos1B可解得p的范围解：考虑余弦定理22222cos21cosbacacBacacB222211cos2bpbbB231cos22pBB为锐角，0cos1B23,22p0acpbp6,22p例5：若ABC的内角满足sin2sin2sinABC，则cosC的最小值是思路：所求cosC的最值可想到余弦定理用边进行表示，222cos2abcCab，考虑sin2sin2sinABC角化边得到：22abc，进而消去c计算表达式的最值即可解：222cos2abcCab由sin2sin2sinABC可得：22abc22abc2222222223122312422cos222844abababababcabCabababba362844abba答案：64例6：在锐角ABC中2,ABB、C的对边长分别是b、c,则+bbc的取值范围是()A．11(,)43B．11(,)32C．12(,)23D．23(,)34思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：sin1sin+sinsin1sinbBCbcBCB，只需求出sinsinCB的范围即可。条件所给的是,AB关系，从而sinsincossincossinsinCABBABB，利用2,AB减少角的个数：2sinsin22sincos,coscos22cos1ABBBABB，代入可得：2sin4cos1sinCBB，根据锐角三角形求出B的范围即可。解：sin1sin+sinsin1sinbBCbcBCBsinsinsincossincossinsinsinABCABBABBB由22sinsin22sincos,coscos22cos1ABABBBABB222sin2sincossincos22coscos24cos1sinsinCBBBBBBBBB因为ABC为锐角三角形02022032BABCB解得：64B23cos,22B2sin4cos11,2sinCBB111,sin+321sinbCbcB答案：B小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是B，所以在求表达式范围时将,AC均用B来进行表示，以便于求得值域。例7：已知ABC的角,,ABC所对的边分别是,,abc，且22223abcab，若ABC的外接圆半径为322，则ABC面积的最大值为__________思路：由22223abcab可联想到余弦定理求cosC，所以2221cos23abcCab，从而22sin3C，所求面积可表示为1sin2ABCSabC，则只需解出ab的最大值即可。由外接圆半径322R及sinC可得：2sin4cRC，所以222163abab，而222abab，所以有2162123ababab，所以122124223ABCS答案：42小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C，在计算面积时有三组边角可供选择：111sinsinsin222SabCbcAacB，通常是“依角而选”，从而把目标转向求ab的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可以找到最值。例8：设ABC的内角,,ABC所对的边为,,abc，若,,abc成等比数列，则sinsinBA的取值范围是______________思路：由,,abc成等比数列可得：2bac，也可视为2sinsinsinBAC，所求表达式sinsinBA也可视为ba。如果从角入手，则22sinsinsinsinsinsinBACBAAB无法与sinsinBA联系。所以考虑从边入手。由2bac可得：2bca，在ABC中，若abc，则cab，所以2baba，即2151012bbbaaa，同理，若cba，则2babcaba，解得：5112ba。综上sin5151,sin22BbAa答案：5151,22例9：已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为,,abc，且BC边上的高为a，则bccb的取值范围为______．思路：一方面由所求bccb出发，可用均值不等式得到22bcbccbcb，验证bc时存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手22bcbccbbc可联想到余弦定理2222cosabcbcA，而由题目中的底和高可得2211sinsin22ABCSabcAabcA，所以有：22cossin2cossin2cosbcabcAbcAbcAAAcbbcbc，只需求得sin2cosAA的范围即可，考虑12sin2cos5sincos5sin55AAAAA，tan2，所以sin2cos5AA，综上：2,5bccb答案：2,5小炼有话说：（1）在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消去（比如本题中的2a），从而整理出一个可操作的表达式（2）最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用代替俯角，并