二项式定理及典型试题

二项式定理及典型试题知识点一：二项式定理二项式定理:①公式右边的多项式叫做的二项展开式；②展开式中各项的系数叫做二项式系数；③式中的第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；二项展开式的通项公式为.知识点二：二项展开式的特性①项数：有n+1项；②次数：每一项的次数都是n次，即二项展开式为齐次式；③各项组成：从左到右，字母a降幂排列，从n到0；字母b升幂排列，从0到n；④系数：依次为.知识点三：二项式系数的性质①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等②单调性：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.③二项式系数之和为，即其中，二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即经典例题1、“nba)(展开式例1．求4)13(xx的展开式；解：原式=4)13(xx=24)13(xx=])3()3()3()3([144342243144042CCCCCxxxxx=54112848122xxxx【练习1】求4)13(xx的展开式2.求展开式中的项例2.已知在331()2nxx的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解：（1）通项为2333111()()22nrrnrrrrrrnnTCxxCx因为第6项为常数项，所以r=5时，有23nr=0，即n=10.（2）令1023r=2，得2r所以所求的系数为2210145()24C.（3）根据通项公式，由题意1023010,rZrrZ令102()3rkkZ，则352kr，故k可以取2,0,2，即r可以取2，5，8.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为22255882101010111(),(),()222CxCCx.【练习2】若41()2nxx展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知223()nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nxx的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项（先看例9）.解：由题意知，222992nn，所以232n，解得n=5.（1）(1)由二项式系数性质，101(2)xx的展开式中第6项的二项式系数最大.5556101(2)()8064TCxx.（2）设第1r项的系数的绝对值最大，110rrTC10(2)rx10102101()(1)2rrrrrCxx101111010101910102222rrrrrrrrCCCC得110101101022rrrrCCCC，即1122(1)10rrrr，解得81133r.,3rZr，故系数的绝对值最大的项是第4项，3744410215360TCxx.[练习3]已知*22()()nxnNx的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；解：在展开式中，3x的来源有：①第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(xx的展开式中，常数项是；解：36323)1(])1([)21(xxxxxx，该式展开后常数项只有一项33336)1(xxC，即206、求中间项例6求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。7、有理项例7103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9,6,3,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2.2.2.2.8118228118即)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3项2537xT和第4项2747xT。（3）系数绝对值最大的项例10在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4项4347yxC，和第5项5257yxC。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(4【练习1】若2004221020042004...)21(xxaxaax，则)(...)()(200402010aaaaaa；解：2004221020042004...)21(xxaxaax，令1x，有1...)21(20042102004aaaa令0x，有1)01(02004a故原式=020042102003)...(aaaaa=200420031【练习2】设0155666...)12(axaxaxax，则6210...aaaa；解：rrrrxTC)1()2(66165432106210...aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=110、利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263CT，且第3项以后的绝对值都小于001.0，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01()002.0(61=988.0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC...1)1(221，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，nxxx,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。本资料来源于《七彩教育网》[新课标人教版]排列、组合与二项式定理（选修2－3）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（08年上海卷12）组合数Crn（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．r+1n+1Cr-1n-1B．(n+1)(r+1)Cr-1n-1C．nrCr-1n-1D．nrCr-1n-12．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（）A．40B．74C．84D．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有（）A．18个B．15个C．12个D．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（）A．512B．968C．1013D．10245．如果()nxxx的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是（）A．6810CxB．5710CxxC．468CxD．6811Cxx6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（）A．36B．32C．24D．207．现有一个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有（）A．20个B．60个C．120个D．90个8．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．1209．在342005(1)(1)(1)xxx的展开式中，x3的系数等于（）A．42005CB．42006CC．32005CD．32006C10．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是（）A．2男6女B．3男5女C．5男3女D．6男2女11．若x∈R，n∈N＋，定义nxM＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如55M＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()xfxxM的奇偶性为（）A．是偶函数而不是奇函数B．是奇函数而不是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，从A到B的映射f(x)，B中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为（）A．8B．9C．24D．2713．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有（）A．24种B．36种C．60种D．66种14．等腰三角形的