高数大一上册总复习

总复习函数与极限（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性1、求定义域的常用方法：1.分式的分母不能为零。(分母0)2.在偶次根式中，被开方式03.对数函数的真数04.若干项组成的函数式，它的定义域是各项定义域的交集部分。自变量的取值要使左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf2、求极限的常用方法（1）直接代入法（2）极限和函数交换顺序（3）洛必达法则（4）两个重要极限（5）等价无穷小代换（6）其他不定型两个重要极限重要极限一:1sinlim0xxx重要极限二：1)()(sinlim0)(xxxexxx101limexxx11limexxx)()()(11limexxx)(10)()](1[lim1)1(（3）倒数关系)1()2(00当0x时,等价无穷小x~xsinx~xtanx~ex1-x~x)1ln(2~2xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限的运算xarctanxarcsinx~x~使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：.00)1(未定型或是否属于每次使用法则，需检查(2)如果有可约去的公因子,或有非零极限的乘积因子，可以先约去或提取出来求极限，以简化演算.时，不存在但不是)()(lim)3()(0xgxfxxx)()(lim)(0xgxfxxx不能判定此时应使用其它方法求极限.,也不存在消去零因子法(通过约分、通过有理化)无穷小因子分出法利用无穷小的性质复合函数极限运算法则无穷小和无穷大之间的关系解例.321lim221--xxxx求.,,1分母的极限都是零分子时x.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x)1)(3()1)(1(lim321lim1221----xxxxxxxxx31lim1xxx.21)00(型(消去零因子法)通过约分例求22011limxxx-22220022111111limlim11xxxxxxxx--2022lim11xxxx201lim11xx12解：型00(消去零因子法)通过有理化小结:为非负整数时有和当nmba,0,000--,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例.147532lim2323-xxxxx求解.,,分母的极限都是无穷大分子时x)(型.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx--.72(无穷小因子分出法)小结常见极限类型求解方法：型1型01型10型：00型：00分子、分母同时除以最高次方消去分子或分母趋于零的因式0型0-型通分进行求解连续与可导1、连续与可导的某个邻域内有定义，在点设函数0)(xxf)()(lim00xfxfxx=如果则称函数)(xfy=在0x点连续..)(0的连续点称为xfx【注】)()(lim00xfxfxx-,)()(lim00xfxfxx连续.)()(lim000hxfhxfh-.)()(lim000xxxfxfxx--xxfxxfxyyxxxx-)()(limlim00000或0|xxy)(0xf0xxdxdy或0)(xxdxxdf或导数2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx------;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx---函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf-和右导数)(0xf都存在且相等.★2、间断点分类：（一）第一类间断点(左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-均存在与,)(lim)(limxfxfxxxx存在,)(lim0xfxx（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在));()(lim00xfxfxx但;)()(lim00处无定义在存在，但或xxfxfxx振荡间断点无穷型间断点、导数与微分求导法则基本公式导数xyx0lim微分xydy关系)(xodyydxydyydxdy高阶导数切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy--).()(1000xxxfyy---)0)((0'xf0)(0xf若处的在点则曲线))(,()(00xfxMxfy切线方程为法线方程为0xx0yy)(0xf若处的在点则曲线))(,()(00xfxMxfy切线方程为法线方程为0xx0yy1、求导法则设)(),(xvvxuu可导，则（1）vuvu)(,（2）uccu)((c是常数),（3）vuvuuv)(,（4）)0()(2-vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx则有的反函数为如果函数(3)复合函数的求导法则).()()()]([)(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy或的导数为则复合函数而设(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu(5)隐函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导和对数求导法则,)()(间的函数关系与确定若参数方程xytytx;)()(ttdtdxdtdydxdy.)()()()()(322tttttdxyd-(6)参变量函数的求导法则2、导数与微分的关系).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数3、微分的求法dxxfdy)(求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud-4、微分的基本法则基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221----dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(----微分中值定理1、罗尔定理如果函数)(xf满足条件：（1）在闭区间],[ba上连续,（2）在开区间内可导,),(ba),()()3(bfaf,),(内至少存在一点那末在ba使得0)(fxyabo)(xfyAB罗尔定理的几何解释：12C;],[)()1(上是一条连续曲线在baxfy;),()2(轴的切线内处处有不垂直于曲线在xba;)3(度相同曲线在两个端点处的高.是水平的，上至少有一点在曲线弧CAB在该点处的切线如图所示:2、拉格朗日中值定理))(()()(abfafbf--如果函数)(xf满足条件：（1）在闭区间],[ba上连续,（2）在开区间内可导,),(ba那末至少有一点),(ba使得).()()(fabafbf--或拉格朗日中值定理几何解释:.,ABCAB平行于弦在该点处的切线上至少有一点在曲线弧ABxoy)(xfyba121C2C例上满足在区间验证函数2,0cos)(xxf拉格朗日中值定理.解,2,0cos)(上连续在区间因为函数xxf内可导，在)2,0(满足拉格朗日中值定理故)(xf.的条件xxfsin)(-而02)0()2(--ff)0cos2(cos2-2-，由2sin--2arcsin解得)2,0()()()(fabafbf--.并求函数的单调性、最值和极值、凸凹性1、函数的单调性定理.],[)(0)(),(2],[)(0)(),(1.),(],[)(00上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在可导内上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy(1)函数单调性的判定法(2)单调区间求法导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf指出：利用函数单调性的判定可以证明某些不等式.例证.tan,20xxx试证时当.tan)(xxxf-设,2,0)(连续在显然xf内可导，在2,01sec2-x)(xfx2tan0.2,0)(上单调增加在故xf,20时当x)0()(fxf0.tanxx时，当即20x2、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)注意：逆定理不成立.例如0)0(03yxxy处在.03的极值点不是函数但xyxo3xy说明：对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数yxo||xy例如，.0||处有极小值在函数xxy.0处不可导但在x称为的点使00)(xxf.驻点函数在定义域中的驻点及不可导点统称为极值可疑点.指出：连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.的极值点.(1)如果),,(00xxx-有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx-有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx-及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x--(是极值点情形)xyoxyo0x0x--(不是极值点情形)求极值的步骤:);()()1(xfxf的定义域，求导数确定函数的极值可疑点；求出函数)()2(xf极值，在极值可疑点处是否有，确定按定理)(2)4(xf分成若干个部分区间，用极值可疑点将定义域）（3号；在每个部分区间上的符并确定)(xf设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()()3(判断极值点该点的符号在在驻点左右的正负号或检查xfxf.)4(求极值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个