75抛物线及其标准方程(公开课)

2.3抛物线球在空中运动的轨迹是抛物线喷泉赵州桥探照灯抛物线的定义LFKMN平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线.注意:定点F不在直线L上.()Fl的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系，求抛物线的方程？思考LFKMN(1)LFKMNLFKMN(3)(2)pKF设xyyyxx方程叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标F是,它的准线方程是。其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离。(,0)2p2px抛物线的标准方程LFKMNyx)0(22ppxy抛物线的标准方程还有哪些形式?想一想？其它形式的抛物线的焦点与准线呢？抛物线的标准方程对于一条抛物线，它在坐标平面内的位置可以不同，所以建立的坐标系也不同，所得抛物线的方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图象开口方向标准方程焦点准线向右向左向上向下抛物线方程左右型标准方程为y2=+2px(p0)开口向右:y2=2px(x≥0)开口向左:y2=-2px(x≤0)标准方程为x2=+2py(p0)开口向上:x2=2py(y≥0)开口向下:x2=-2py(y≤0)抛物线的标准方程上下型例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标及准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求抛物线的标准方程；焦点F(,0)32准线：x=－32抛物线的标准方程x2=－8y解(1)2p=6p/2=3/2(2)p/2=2,2p=8练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y2=-20x（2）y=6x2焦点F(-5,0)准线：x=5焦点F(0,)124准线：y=－1242.xp2,4.例求焦点在轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程22px解：因为焦点在x轴正半轴上,所以可设抛物线方程为y又因为点p2,4在抛物线上,代入得p=4.28.yx所以抛物线的标准方程为练习：求过点A（-2，4）的抛物线的标准方程。AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把A（-2，4）代入，得p=1/22）设抛物线的标准方程为y2=-2px，把A(-2，-4)代入,得p=4∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=-8x.oF例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。xyAB4.8m0.5m解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。22.420.5p22(0)pxpy设抛物线的标准方程是,由已知条件(0.5,2.4)可得,点A的坐标是5.76p(2.88,0)211.52xy所以，所求抛物线的标准方程是代入方程，得焦点的坐标是思考:M是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，若点M的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是————————————x0+—2pOyx．FM．这就是抛物线的焦半径公式!4,x2解：由抛物线方程y知1.x准线方程为p又点p的横坐标为4,所以到准线的距离为5.5.PF由抛物线的定义知xyF1,01xPN.21.已知抛物线y=4x的焦点为F,P为抛物线上一点,且点P的横坐标为4，求PF4,x2解：由抛物线方程y知1.x准线方程为6,PF因为由抛物线定义知6.点P到准线的距离也为5.P所以点的横坐标为25.P代入得点的纵坐标为525.P所以点的坐标为，.22.已知抛物线y=4x的焦点为F,P为抛物线上一点.若PF=6,求P点的坐标xyF1,01xP,xyN1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：焦点坐标准线方程(1)(2)(3)(4)注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线方程化为标准形式。课堂练习08)4(052)3(21)2(20)1(2222yxxyyxxy)0,5()81,0()0,85()2,0(5x81y85x2y课堂练习2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（3）焦点到准线的距离是2.（1）焦点是；)0,3(F（2）准线方程是；41xxy122xy2yx42xy42或小结：已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程.先定位，后定量课堂练习3、设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.4B.6C.8D.12xy82B4：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2=2py，把A（-3，2）代入，得p=492）设抛物线的标准方程为y2=-2px，把A（-3，2）代入，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。2934课堂练习4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．1.抛物线的定义;2.抛物线的标准方程有四种不同的形式,每一对焦点和准线对应一种形式;3.p的几何意义是:焦点到准线的距离;课堂小结平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。的轨迹是抛物线。则点若MMNMF,1即:︳︳︳︳··FMlN问题：抛物线的定义及其标准方程是怎样的？复习Oyx图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy620722yx)0,1(F1y开口向右开口向左开口向上开口向下1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！以抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．022ppxy（图形对称轴顶点离心率准线焦点）抛物线的几何性质y2=2px•y取全体实数XY•X0范围对称性关于X轴对称顶点定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点离心率离心率e=1抛物线的几何性质图形标准方程焦点坐标准线方程范围对称轴顶点离心率y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR原点即(0，0)e=1x轴y轴问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；抛物线由P决定开口大小，P越大开口越大而椭圆、双曲线由e决定例1.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且过点M，求它的标准方程.(2,22)x解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M，所以，可设它的方程x(2,22),022ppxy因为点M在抛物线上，所以,22222p即2p因此，所求抛物线的标准方程是:xy42例1.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.ABl题型一：弦长问题法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.8ABABl解:F(1,0),直线l:y=x-1214yxyx例1.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.2610yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设12322322xx解得：，12222222y，y221212()()8ABxxyy1法：法2：126xx121xx2212121()4ABkxxxx23648法3：ABAFBF1211xx8126xxABl分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.例3.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点.当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,1k1或2.这时，直线与抛物线只有一个公共点.l②,02210,kk解得.211k于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0kl③由即,0,0122kk②,0解得.211k于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0kl③由即,0,0122kk解得.211kk或于是，当时，方程没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当时，直线与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或或l当时，直线与抛物线有两个公共点;0,211kk且l当时，直线与抛物线没有公共点.21,1kk或l你能通过作图验证这些结论吗？判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为;28yx452)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为则为;oFpxy220pAFAx60OA3）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）2xy0834yx34.A57.B58.C3.D16212pA如图，点是定点，是不经过点的定直线。是上任意一点，过点作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？MHLLLHFF提出问题：LMFH几何画板观察F练习:平面上到定点A(1,2)和到定直线2x－y=0距离相等的点的轨迹为()(A)直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆思考：已知点P(x,y)的坐标满足方程:2221||(0)xyxkxyk1.若，P的轨迹是何曲线？22k2.随K的变化，P的轨迹可以是哪些曲线？（3）已知抛物线的准线方程为x=1，求抛物线的标准方程y2=－4x练习：求抛物线的标准方程1.焦准距是2；2.以双曲线的焦点为焦点；3.经过点P(-4,-2)；22145xy4.已知动圆M过定点F(2,0)，且与直线x=–2相切，求动圆圆心M的轨迹方程.定义法3.已知点P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上一点，则P到焦点F的距离|PF|=()02px4.已知点A(2,1),点M在抛物线y2=4x上移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|的最小值是(),此时M的坐标是()5.已知M是抛物线上一动点