数学分析 1. 空间直角坐标系、矢量及其运算

1向量代数与空间解析几何参考资料：1.吕林根，许子道，《解析几何》第三、四版，高等教育出版社出版2.同济大学数学系，《高等数学》第六版（下册），第八章，高等教育出版社出版2空间直角坐标系与向量代数1.空间直角坐标系2.向量及其线性运算3.向量间的乘积3x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.1.空间直角坐标系4Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ5空间的点有序数组),,(zyx一一对应特殊点的表示:)0,0,0(O坐标原点),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C6设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点xyzo1MPNQR2M?21MMd在直角21NMM及直角PNM1中，使用勾股定理知,222212NMPNPMd空间两点间的距离：7,121xxPM,12yyPN,122zzNM22221NMPNPMd.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyxxyzo1MPNQR2M8向量（矢量）：既有大小又有方向的量.向量表示：以1M为起点，2M为终点的有向线段.1M2Ma21MM模长为1的向量，记为21MM00a零向量：模长为0的向量，记为.0||a21MM||向量的模（大小）：单位向量：2.向量的概念或或或2.1向量的概念9自由向量：不考虑起点、终点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量a向径：abaa空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量.OMM101.加法：cbaabc（平行四边形法则）特殊地：若a‖babc||||||bac分为同向和反向bac||||||bac（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2.2向量的线性运算11向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：.abba（2）结合律：cbacba)().(cba（3）.0)(aa2.减法)(babaabbbcbabac)(babaab12设是一个数，向量a与的乘积a规定为：,0)1(a与a同向，||||aa,0)2(0a,0)3(a与a反向，||||||aaaa2a213.向量与数的乘法13数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：)()(aaa)(（2）分配律：aaa)(baba)(.//0ababa，使，则设定理两个向量的平行关系14同方向的单位向量，表示与非零向量设aa0按照向量与数的乘积的规定，0||aaa.||0aaa上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.:单位向量152.3向量的坐标设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr},,{zyxxoyzMNBCijkA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为rNMONOMOCOBOA(1)向量的坐标表示——坐标向径16xoyz1M对两点与2M1221OMOMMMa)()(111222kzjyixkzjyix——向量的坐标zyxaaa,,——向量的坐标表达式},,{zyxaaaa222||zyxaaaa21221221221zzyyxxMM17kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM18(2)向量运算的坐标表达式},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaa;)()()(kbajbaibazzyyxx;)()()(kbajbaibazzyyxx.)()()(kajaiazyx19解},,{111zzyyxxAM},,{222zzyyxxMB设),,(zyxM为直线上的点，例1设),,(111zyxA和),,(222zyxB为两已知点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数)1(，即MBAM，求分点的坐标.ABMxyzo20由题意知：MBAM},,{111zzyyxx},,,{222zzyyxx1xx)(2xx1yy)(2yy1zz)(2zz,121xxx,121yyy,121zzzM为有向线段AB的定比分点.M为中点时，,221xxx,221yyy.221zzz21定理:},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb设则ba//bazzyyxxbababa注：若某个分母为零，则相应的分子也为零。22非零向量的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.、、,0,0.0xyzo1M2M(3)向量的方向角与方向余弦23xyzo1M2M由图分析可知cos||aaxcos||aaycos||aaz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.222||zyxaaaaPQR向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM240222zyxaaa当时，,cos222zyxxaaaa,cos222zyxyaaaa.cos222zyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式251coscoscos222方向余弦的特征0a||aa}.cos,cos,{cos特殊地：单位向量的方向余弦为26例2求平行于向量kjia676的单位向量的分解式.解所求向量有两个，一个与同向，一个反向a222)6(76||a,11||aa0a,116117116kji或0a||aa.116117116kji27练习题一、填空题：1、已知rr,4与轴u的夹角是60，则rjuPr=_________________；2、已知两点1M)2,1,0(和2M)0,1,1(则21MM{}；-221MM={}；3、已知两点1M)1,2,4(和)2,0,3(2M,则向量21MM________，21MM=_________，方向余弦cos=_____；cos=____；cos=_____；方向角_____,_____,______；4、已知向量kjia,kjib532及kjic22,0a则______________；280b=__________；0c=____________；5、一向量与zoxyozxoy,,三个坐标平面的夹角,,满足2cos+2cos+2cos=____________.二、一向量的终点在点)7,1,2(B，它在轴X，轴Y和轴Z上的投影依次为74,4和，求这向量的起点的坐标A.三、求平行于向量6,7,6a的单位向量.29练习题答案一、1、2；2、4,4,2,2,2,1；3、;3,43,32,21,22,21,2,1,2,14、32,31,32,385,383,382,31,31,31；5、2.二、A(-2,3,0).三、116,117,116116,117,116或.303.向量间的乘积3.1两向量的数量积3.2两向量的向量积3.3向量的混合积31向量a与b的数量积为bacos||||baba(其中为a与b的夹角)定义3.1两向量的数量积ab关于数量积的说明：0)2(ba.ba.||)1(2aaa,0.||cos||||2aaaaa证32数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：),()()(bababa若、为数：).()()(baba33,kajaiaazyxkbjbibbzyx设ba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx,kji,0ikkjji,1||||||kji.1kkjjiizzyyxxbabababa数量积的坐标表达式34cos||||baba,||||cosbaba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式ba0zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为35例1已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求（1）ba；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21ajbbabPr||)3(.3||Prbbaajb.4336解;1100111AMBcosAMBBAM求和、已知三点例),2,1,2()1,2,2()1,1,1(3.,,的夹角与就是向量作向量MBMAAMBMBMA}1,0,1{},0,1,1{MBMAMBMA2,2MBMAMBMAMBMA212213AMB37向量a与b的向量积为bacsin||||||bac(其中为a与b的夹角)定义c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.abbac3.2两向量的向量积38向量积符合下列运算规律：（1）反交换律.abba（2）分配律：.)(cbcacba（3）若为数：).()()(bababa关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(//.0ba)0,0(ba39},,,{zyxzyxaaakajaiaa},,{zyxzyxbbbkbjbibb设ba)(kajaiazyx)(kbjbib