数学分析 第十一章 广义积分

2020/2/141第十一章广义积分（反常积分）引例自地面垂直向上发射火箭，火箭质量为m，试计算将火箭发射到超出地球的引力范围时,克服地球引力所作的功，并由此计算初速度至少为多少才可使火箭超出地球的引力范围？§1无穷区间上的广义积分2020/2/142分析：取坐标系如图，设地球半径为R，质量为M，火箭质量为m,与地心的距离为x,根据万有引力定律，火箭所受地球引力为：Rx2)(xmMGxfx当x=R时，引力=重力2222)(xmgRxfMgRGmgRmMG2020/2/143火箭在距离球心处所受地球引力为：Rx22)(xmgRxfdxxx+dxdW推力克服地球引力作功，推力=引力，22)()(xmgRxfxFdxxmgRdxxFdW22)(x2020/2/144dxxmgRdxxFdW22)(火箭到达离地面高h时，所作的功dxxmgRWhRR22)11(2hRRmgRRxdxxx+dx,脱离地球引力范围火箭.h即.mgRW2020/2/145,,0有根据机械能守恒定律则必须的初速度为脱离地球引力范围至少设火箭v.—第二宇宙速度—2021mv，解之得gRv2:0代入即得秒将kmRkmg6371,/108.923秒/2.110kmv动能克服引力作功mgRdxxmgRWhhRR22,dxxmgRR22无穷限的广义积分2020/2/146定义1设函数)(xf在区间),[a上连续，取ab，如果极限babdxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间),[a上的广义积分，记作adxxf)(.adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.一、无穷限的广义积分)(xfyb问:f(x)在(-∞b]上的反常积分如何计算？2020/2/147类似地，设函数)(xf在区间],(b上连续，取ba，如果极限baadxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间],(b上的广义积分，记作bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.2020/2/148设函数)(xf在区间),(上连续,如果广义积分0)(dxxf和0)(dxxf都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的广义积分，记作dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf0)(dxxf0)(limaadxxfbbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.?)(dxxf2020/2/149baabdxxfdxxf)(lim)()()(limaFbFbccdxxfdxxfdxxf)()()(adxxf)(badxxf)(blim)()(lim),()(limFbFFbFbb若记：),()(aFFaxF)(bxF)()(xF2020/2/1410例1计算广义积分.12xdx解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0arctanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlimbbarctanlim.2222arctanx2020/2/1411例2计算广义积分解.1sin122dxxx21sin12dxxx211sinxdx21cosx2cos0cos.12020/2/1412例3证明广义积分apxdxe当0p时收敛，当0p时发散.证apxdxeapxpe0,ppeapp0时,是指数衰减函数pxey0,p.0;,0时发散当收敛时即当pp2020/2/1413例5证明广义积分11dxxp①当1p时收敛，②当1p时发散.证,1)1(p11dxxp11dxx1lnx,,1)2(p11dxxp111pxp1,p因此当1p时广义积分收敛，其值为11p；当1p时广义积分发散.1,11pp2020/2/1414定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.§2无界函数的广义积分)(xfya瑕点问:f(x)在[ab)上的反常积分如何计算？badxxf)(lim0b2020/2/1415类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作badxxf)(badxxf)(lim0.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.)(xfyb2020/2/1416设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0否则，就称广义积分badxxf)(发散.定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.bcdxxf)(lim02020/2/1417例5计算广义积分解).0(022axadxa,1lim220xaaxax为被积函数的无穷间断点.axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2a2020/2/1418例6证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证,1)1(q101dxx10lnx,,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.101dxxq2020/2/1419问：1121dxx111x211是否正确？解]1[x01的瑕点为函数上在区间210]1,1[xx0121dxx发散，即反常积分0121dxx发散。所以反常积分1121dxx1121dxx0121dxx1021dxx2020/2/1420例7计算广义积分解.ln21xxdx21lnxxdx21ln)(lnxxd))1ln(ln()2ln(ln.故原广义积分发散.2020/2/1421例8计算广义积分解.)1(3032xdx1x瑕点3032)1(xdx10313232)1()1(xdxxdx1032)1(xdx1031)1(3x33132)1(xdx,2333032)1(xdx).21(333131)1(3x2020/2/1422思考题解答积分可能的瑕点是101lndxxx1,0xx1lnlim1xxx,11lim1xx1x不是瑕点,101lndxxx的瑕点是.0x00思考题积分的瑕点是哪几点？101lndxxx2020/2/1423例9.123)2(;94)1(:2122xxxdxxxdx求下列广义积分解(1)02029494xxdxxxdx原式bbaaxdxxdx02025)2(lim5)2(limbbaaxx0052arctan51lim52arctan51lim.52020/2/1424(2),1231lim)(lim211xxxxfxx.)(1的瑕点为xfx212123xxxdx原式2122)11(2)11(xxd21211arcsinx.43arcsin2.123)2(:212xxxdx求广义积分2020/2/14251.无穷限的广义积分dxxf)(bdxxf)(adxxf)(四、小结)()()(aFFxFa).()()(FbFxFb)(lim)(),(lim)(xFFxFFxx其中)()()(FFxF2020/2/14262.无界函数的广义积分（瑕积分）cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(注意：不能忽略内部的瑕点!badxxf)()()()(aFbFxFba2020/2/1427一、填空题：1、广义积分1pxdx当_______时收敛；当______时发散；2、广义积分10qxdx当_______时收敛；当_______时发散；3、广义积分2)(lnkxxdx在______时收敛；在_______时发散；4、广义积分dxxx21=____；练习题1q1p1p1q2020/2/14285、广义积分1021xxdx________；6、广义积分xdttf)(的几何意义是______________________________________.二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值：1、0coshtdtept)1(p；2、222xxdx；3、0dxexxn（为自然数n）；4、202)1(xdx；2020/2/14295、211xxdx；6、022)1(lndxxxx；7、10lnxdxn.三、求当为何值时k，广义积分)()(abaxdxbak收敛？又为何值时k，这广义积分发散？四、已知xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示xdttf)(.2020/2/1430一、1、1,1pp；2、1,1qq；3、1,1kk；4、发散；5、1；6、过点轴平行于yx的直线左边,曲线)(xfy轴和x所围图形的面积.二、1、12pp；2、；3、!n；4、发散；5、322；6、0；7、!)1(nn.三、当1k时收敛于kabk1)(11；当1k时发散.四、xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.练习题答案2020/2/14312020/2/1432一、无穷积分收敛的判别法:)(收敛的充要条件是无穷积分adxxf便有只要,,,,021GuuaG.)(21uudxxf１.柯西准则tadxxf)()(tFadxxf)()(limtFtP54,P382020/2/1433二、无穷积分的性质性质１则为任意常数都收敛与若，k，kdxxgdxxfaa21,)()(且也收敛，dxxgkxfka)]()([21