数学分析(华东师大第四版)12_1 级数的收敛性

返回后页前页§1级数的收敛性级数是数学分析三大组成部分之一，是逼近理论的基础，是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.返回后页前页对于有限个实数u1,u2,…,un相加后还是一个实数，这是在中学就知道的结果,那么“无限个实数相加”会有什么结果呢？请看下面的几个例子.如在第二章提到《庄子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中,将每天截下那一部分的长度“加”起来是:231111,2222n返回后页前页由于前n项相加的和是112n，可以推测这“无限个数相加”的结果应该是1.又如下面由“无限个数相加”的表达式1(1)1(1)中，如果将其写作(11)(11)(11)000,结果肯定是0，而写作1[(1)1][(1)1]1000,返回后页前页则结果是1.两个结果的不同向我们提出了两个基本问题:“无限个数相加”是否存在“和”;如果存在,“和”等于什么?由此可见,“无限个数相加”不能简单地与有限个数相加作简单的类比,需要建立新的理论.定义1给定一个数列{un},将其各项依次用“+”号连接起来的表达式12(1)nuuu返回后页前页称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中un称为数项级数(1)的通项或一般项.数项级数(1)也1nnu.nu常记为.在不致误解时可简记为数项级数(1)的前n项之和记为121,(2)nnknkSuuuu称为数项级数(1)的第n个部分和,也简称部分和.定义2若数项级数(1)的部分和数列{}nS收敛于S返回后页前页limnnSS(即),则称数项级数(1)收敛,S称为数项级数(1)的和,记作121,.nnnSuuuSu或例1讨论等比级数(也称几何级数)2(3)naaqaqaq的收敛性(a≠0).若是发散数列,则称数项级数(1)发散.{}nS返回后页前页解q≠1时,级数(3)的第n个部分和为11.1nnnqSaaqaqaq因此1(i)1,limlim.11nnnnqaqSaqq当时此时级数(3)收敛,其和为.1aq(ii)1,lim,(3).nnqS当时此时级数发散返回后页前页(iii)1,,.nqSna当时级数发散1,q当时20,kS21,0,1,2,,.kSak级数发散1,(3);q时级数收敛1,q时综合起来得到:级数(3)发散.例2讨论数项级数111(4)1223(1)nn的收敛性.解级数(4)的第n个部分和为返回后页前页1111223(1)nSnn1111112231nn11.1n1limlim11,1nnnSn由于因此级数(4)收敛,且其和为1.返回后页前页注由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它的部分和数列{}nS来确定,因而也可把级数(1)作为数列{}nS的另一种表现形式.反之,任给一个数列{}na,如果把它看作某一数项级数的部分和数列,则这个数项级数就是1213211()()().(5)nnnnuaaaaaaa{}na这时数列与级数(5)具有相同的敛散性,且当收敛时,其极限值就是级数(5)的和.{}na返回后页前页基于级数与数列的这种关系,读者不难根据数列极限的性质得出下面有关级数的定理.定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要,,N总存在正整数条件是:任给正数使得当mN以及对任意的正整数p都有12.(6)mmmpuuu根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻写出级数(1)发散的充要条件是:0,存在某正数对返回后页前页任何正整数N,总存在正整数m0(N)和p0，有0000120.(7)mmmpuuu由定理12.1立即可得如下推论.推论(级数收敛的必要条件)若级数(1)收敛,则lim0.nnu注推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于零,级数一定发散,但一般项趋于零,则级数未必收敛，因此用来判断级数发散很有效.如级数返回后页前页1(1)1(1)例3讨论调和级数111123n的敛散性.解这里一般项10nun,不能利用推论判断级数的敛散性.因为一般项un=()n-1不趋于零，所以发散.1返回后页前页若令p=m,则有122111122mmmuuummm111222mmm1,201,2故取对任何正整数N只要mN和p=m就有(7)式成立，因此调和级数发散.返回后页前页例4判断级数111nnnnnnn的敛散性.解因为2121111111limlimlim10nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.返回后页前页例5运用级数收敛的柯西准则证明级数21n收敛.证由于12mmmpuuu222111(1)(2)()mmmp111(1)(1)(2)(1)()mmmmmpmp1111111121mmmmmpmp返回后页前页11mmp1.m因此,10,,N对任意可取当mN及任意正整数p,由上式可得121,mmmpuuum21n依级数收敛的柯西准则,知级数收敛.注级数11(1)nnn的收敛性已由例5的证明过程所显示.返回后页前页定理12.2,nnuv若级数与都收敛则对任意常数c,d，()nncudv级数亦收敛，且().nnnncudvcudv根据级数收敛的柯西准则,级数nu的收敛与否与级数前面有限项的取值无关.从而可得到以下定理.定理12.3去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.返回后页前页注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，但在收敛时，其和一般还是要变的.由定理12.3知,1,nnu若级数收敛其和为S,则级数12(8)Lnnuu.(8)nnnRSSu也收敛,且其和式称为级数的第n个余项(简称余项),它表示以部分和Sn代替S时所产生的误差.返回后页前页定理12.4在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.,.nuS为收敛级数其和为nu下面证明加证设括号后的级数111()kknnkuu收敛,且其和也是1121121.,,,nnnSvuuvuu为此，记11,,kkknnvuu则11111().kknnnknkkuuuv返回后页前页{}{}kknnvSS的部分和数列是的一个子列。由于{}lim{}knnnnSSSS收敛,且.故由子列性质，也收敛，lim,.knkkSSvS且即级数收敛,且它的和也等于注从级数加括号后的收敛,不能推断它在未加括号于是,若为收敛级数nu的部分和数列,则级数{}nS时也收敛.例如(11)(11)(11)0000,收敛,但级数1111却是发散的.返回后页前页*例6证明级数1213nnn收敛，并求其和.1213nnkkkSlimnnS证令，若能求出,就能得到所要的结论.由于11112121333nnnnkkkkkkSS1111112121213333nkknkkkn－1111112121333nnkkkkkk－返回后页前页11111221333nknkn－12111121213333nknkn－12121,333nnn所以132121,2333nnnnS于是132121lim1.2333nnnnnS这样就证明了级数1213nnn收敛,并且其和为1.返回后页前页复习思考题1,()nnnnuvuv讨论级数与.之间收敛性的关系.,,2.nnnnuvuv设级数均收敛问是否一定收敛.,3.nkuv若级数加括号后的级数发散级数是否一定发散？nu