数学分析中极限的求法之多少

数学分析中极限的求法之多少极限的求法是数学分析的基础，数学分析中的基本概念很多都用其来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在0xx处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限的求法是研究数学分析的基本公具。极限的求法是贯穿数学分析的一条主线。学好极限的计算重点关注两点：一是考察所给函数是否存在极限。若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。一、利用夹逼准则求极限若一正整数N,当nN时，有nxnynz且limlim,nnxxxza则有limnxya.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例1222111.......12nxnnnn求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......nnxnnnnnnnn2222111.......1111nnxnnnn则221nnnxnnn又因为22limlim11xxnnnnnlim1nxx二、利用单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在有界性，然后根据数列的通项递推公式求极限。例2证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得1nnayy因为1,nyya则naay,从而11naay1naya即ny是有界的。根据定理ny有极限，而且极限唯一。令limnnyl则21limlim()nnnnyya则2lla.因为0,ny解方程得1412al所以141lim2nnayl三、利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：（1）若极限)(lim0xfxx和)(limxgxx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时也存在极限且○1)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx②)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx（2）若0)(lim0xgxx，则)()(xgxf在0xx时也存极限，且有)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例3求极限(1)2211lim21xxxx(2)312lim3xxx(3)3113lim()11xxx(4)已知111,1223(1)nxnn求limnnx解：(1)2211lim21xxxx＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx＝11lim21xxx＝23(2)312lim3xxx＝3(12)(12)lim(3)(12)xxxxx＝33lim(3)(12)xxxx＝14(3)3113lim()11xxx＝2312lim1xxxx＝21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx＝212lim1xxxx＝-1(4)因为111,1223(1)nxnn111111111122334411nnn11n所以1limlim(1)1nnnxn四、利用两个特殊极限公式求极限两个特殊极限公式(1)0sin1limlimsin1xxxxxx(2)101lim(1)lim(1)xxxxxex在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例4求下列函数的极限(1)230limlimcoscoscoscos2222nnnxxxx(2)22lim(1)mmnm解：(1)23coscoscoscos2222nxxxx＝231sincoscoscoscossin222222sin2nnnxxxxxxx＝1sin2sin2nnxx23limcoscoscoscos2222nnxxxx＝1limsin2sin2nnnxxsin=lim2sin2nnnxx＝sinxx230limlimcoscoscoscos2222nxnxxxx＝0limxsinxx＝1(2)22lim(1)mmnm＝22222()2lim(1)mnmnmmnm＝2222()2lim(1)mnmnmnm＝0e＝1五、利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例5x0x021sin,()1,xfxxx求f(x)在x=0的左右极限解：01limsinxxx＝101limsinxxx＝100lim()lim()1xxfxfx0lim()1xfx六、利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果u=g(x)在点0x连续g(0x)=0u,而y=f(u)在点0x连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x连续。即000lim(())(())(lim())xxxxfgxfgxfgx也就是说，极限号0limxx可以与符号f互换顺序。例6求1limln(1)xxx解：令y＝lnu,u＝1(1)xx因为lnu在点01limln(1)xxuex处连续所以1limln(1)xxx＝1lnlim(1)xxx＝lne＝1七、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果0lim()0xxfx,g(x)在某区间0000(,),(,)xxxx有界，那么0lim()()0xxfxgx.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例7求sinlimxxx解：因为sin1x1lim0xx所以sinlimxxx＝0八、利用等价无穷小量代换求极限等价无穷小量：当1yz时，称y,z是等价无穷小量：记为yz在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。例8求4303lim(sin)2xxxx解：sin22xx4303lim(sin)2xxxx＝4303lim()2xxxx＝4330lim8xxxx＝8九、利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x附近有导数，,x则00()()yfxxfx如果0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x的导数记为/0()fx.即/0000()()()limxfxxfxfxx在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限表示成f(x)在定点0x的导数。例9求2lim()22xxctgx解：取f(x)=2tgx.则22211lim()222lim2(2)2lim22xxxxctgxtgxtgxtgxx＝2()()2lim2xfxfx＝/1()2f＝21(2sec2)2xx＝12十、利用微分中值定理和积分中值定理求极限（一）微分中值定理若函数f(x)满足(i)在,ab连续.(ii)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使/()()()fbfafba例10求30sin(sin)sinlimxxxx解：sin(sin)sin(sin)cos(sin)xxxxxxx0130sin(sin)sinlimxxxx＝30(sin)cos(sin)limxxxxxxx＝20cos1cos0lim3xxx＝0sinlim6xxx＝16（二）积分中值定理设函数f(x)在闭区间,ab上连续;g(x)在,ab上不变号且可积，则在,ab上至少有一点使得()()()()bbaafxgxfgxdxab例11求40limsinnnxdx解：40limsinnnxdx＝lim(0)4nnsix04＝lim(sin)4nn0十一、利用洛必达法则求极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作00型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。（一）对于00型不定式极限可根据以下定理来求出函数的极限。若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=0。②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A。（A可为实数，也可为或）则lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例12求limxxx2tancos1解：容易检验f(x)=1+xcos与g(x)=x2tan在0x的邻域里满足定理的条件①和②，又因limx)(')('xgxf=limxxxx2sectan2sin=-limx212cos3x故由洛比达法则求得，lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=21在此类题目中，如果lim0xx)(')('xgxf仍是00型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限lim0xx)(')('xgxf是否存在。当然，这是)('xf和)('xg在0x的某邻域内必须满足上述定理的条件。例13求)1ln()21(2210limxxexx解：利用)1ln(2x2~x（0x），则得原式=lim0x221)21(xxex=lim0xxxex2)21(21=lim0x1222)21(23xex在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例，例14求lim0xxex1解：这是00型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令,xt当0x时有0t，于是有lim0xxex1=111limlim00tttteet（二）型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A，（A可为实数，也可为或）。则lim0xx)()(xgxf=lim0x