数学分析九到十五章习题课

一、主要内容1、定积分的定义的取法均无关。及该极限与}{iTiiiiTbaxxfdxxf)()(lim)(10||||第九章定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。badxxf)(badttf)(baduuf)(求出及特殊的点集取特殊的分割},{)1(iTiiiTbaxfdxxf)(lim)(0||||殊点。取左端点、右端点或特等分，通常对inba],[（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。babaxFaFbFdxxf|)()()()(2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：3、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、),()(xfdttfdxdxa)()()()(xaxafxbxbf)()()(xbxadttfdxd（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。0,0]1,1[0,1sin)(22xxxxxxf且0,0]1,1[0,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且无界，从而不可积，，在]11[)(xf),(]11[)(xfxf的原函数是，在但即说明有原函数的函数不一定可积。6、可积条件必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。充要条件（1）函数f在[a,b]可积当且仅当：，使分割T,0.Tiix,,0T分割、使得属于T的所有小区间中，充要条件（2）函数f在[a,b]可积当且仅当：对应于振幅的那些小区间的总长.kkxkk7、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在[a,b]上可积。3、在[a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别（3）利用对称性、周期性及几何意义。——牛-莱公式积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。例1解.2sin120dxx求2022cossin2cossindxxxxx原式2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222二、典型例题20cossindxxx例2设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.解10)2(dxxfx10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.2例3.},1min{222dxxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,dxxx},1min{2220原式21102122dxxdxx.2ln232例4))1(21(lim32232232nnnnnnnn求解)]1)1(()12()11[(1lim22222nnnnnn原式)]1)[(1lim21ninnin.32)1(102dxx该极限可以看作函数f(x)=x2-1在[0，1]区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，由于f(x)=x2-1在[0，1]连续，从而可积，故上述极限等于例5证01lim10dxxxnn证明连续，，它们在]10[,)(,11)(nxxgxxf第一中值定理，不变号，由推广的积分，在]10[)(xgdxxdxxxnn1010n111I,1111n,10,110nIn.0limnnI故证毕。例6设)(xf在]1,0[上连续，且1)(xf.证明1)(20dttfxx在[0,1]上恰有一个解.证,1)(2)(0dttfxxFx)(2)(xfxF又)(xF在]1,0[上单调增加，,)(]1,0[CxF10)(1)1(dttfF10)](1[dttf,0所以0)(xF在]1,0[上至少有一个解；令,01)0(F且,0所以0)(xF在]1,0[上至多有一个解；所以0)(xF即原方程在]1,0[上恰有一个解.证毕P229.4(9).|ln|1eedxx求解原式eexdxxdx11lnln1eeeedxxxxxdxxxxx11111|ln1|ln11.22e1、微元法的理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,],[)(定积分的微分的分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa第10章是非常困难的。通常要验证)()(xoxxfU一般来说不是唯一的。中的且)()()(xfxoxxfU也不是唯一的。中的所以)()(xfdxxfUba5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积xyo)(xfybadxxfA|)(|xyo)(1xfy)(2xfybadxxfxfA)]()([12AA直角坐标情形abab——上曲线减下曲线对x积分。yxOcdAx=f(y)（图5）x=g(y)dcdyygyfA)]()([——右曲线减左曲线对y积分。一般解题步骤：（1）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积21)()(ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.参数方程所表示的函数dA2)]([21xod)(rxo)(2r)(1rdA)]()([212122极坐标情形(2)体积xdxxxyodxxfVbax2)]([dyyVdcy2)]([xyo)(yxcddxxxfVbay)(2dyyyVdcx)(2xobadxxAV)(xdxxab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.sin)(320),(03drVrr所成立体的体积为：绕极轴旋转由)(rr））(3)平面曲线的弧长xoyabxdxxdy弧长dxysba21A．曲线弧为)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数弧长dttts)()(22)(xfyB．曲线弧为22dydxdsC．曲线弧为)()(rr弧长drrs)()(22(4)旋转体的侧面积xdxxxyo)(xfybxaxfy,0)(badxxfxfS)(1)(22侧ydsdS2二、典型例题例1.3;2;1)cos1()sin(000及表面积旋转而成的旋转体体积轴轴所围图形绕它的一拱与它的一拱的弧长轴所围成的面积它的一拱与求摆线已知xxxtayttaxa2a)(xy解.10A设面积为aydxA2020)cos1()cos1(dttata.32a.20L设弧长为2022)()(dtyxL.8a2022]sin[)]cos1([dttata.,30VS体积为设旋转体的表面积为aydsS2022022]sin[)]cos1([)cos1(2dttatata.3642adxyVax2202022)]sin([)cos1(ttadta.532a例2所围图形的面积。求0,22yxyyx3,03,0022yxyxyyx解.29)]()2[(302dyyyyA例2求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR例3证明正弦线xaysin)20(x的弧长等于椭圆taytxsin1cos2)20(t的周长.证设正弦线的弧长为1sdxys20211dxxa2022cos1设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa,20222dtyxs根据椭圆的对称性知dttats02222cos1sin2dxxa022cos12,1s故原结论成立.dtta022cos12第11章一、两类反常积分的概念adxxf)(uaudxxf)(limbadxxf)(buaudxxf)(limbadxxf)(lim0dxxf)(adxxf)(adxxf)(当adxxf)(和adxxf)(都收敛时，a为任意常数,就称dxxf)(收敛；如果a,b都是瑕点，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(，c为(a,b)内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。二、计算方法——求正常积分+求极限；)0(axdxap时，发散．当时，收敛；当11ppbapaxdx)(时，发散．当时，收敛；当110pp三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则收敛)(adxxf有,,,,021GuuaG.)(21uudxxf有),,(,,0,021aauu.)(21uudxxf是瑕点）收敛（adxxfba)(2、比较法则baadxxfdxxf的敛散性，和用于判别|)(||)(|通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和Abel判别法用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。:)0(cossinadxxxdxxxapap的敛散性和时，发散。时，条件收敛；时，绝对收敛；0101ppp四、绝对收敛与条件收敛定积分：可积，在可积在],[||],[bafbaf无穷积分：.)(|)(|收敛收敛aadxxfdxxf瑕积分：.)(|)(|收敛收敛babadxxfdxxf可积，在可积在],[||],[2bafbaf.)(|)(|2收敛收敛aadxxfdxxf.|)(|)(2收敛收敛babadxxfdxxf.)()(2收敛收敛aadxxfdxxf例1证明：a是瑕点时.|)(|)(2收敛收敛babadxxfdxxf证：,01|)(|2)(]1|)([|22xfxfxf)](1[21|)(|2xfxf