数学分析第二十二章曲面积分

第22章曲面积分引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用“分割,近似代替,nk1M求质求和,取极限”的方法,可得量M.其中,‖T‖表示n小块曲面的直径的最大值.§1第一型曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质定义1上的为定义在面，是空间中可求面积的曲设SzyxfS),,(则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.,,21则有Szyxfd),,(1d),,(SzyxfSzyxgkzyxfkd),,(),,(21•线性性质.SzyxgkSzyxfkd),,(d),,(21在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理22.1设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxzyxf)),(,,(二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知nk10limyxD),,(kkkyxk)(yxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1)),(,,(22)),(,,(kkkkzfSzyxfd),,(而(光滑)yxD例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:2222:hayxDyx221yxzzzSd20da0)ln(2122222haraayxDyxayxa222dd22022dhararroxzyha例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解:设上的部分,则4321,,,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(1203与10d3xx4321Szyxd原式=分别表示在平面练习1.设是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算解:1zyx11o在四面体的四个面上平面方程Sd投影域yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0yxzddzxzDxz10,10:同上0zyxddyyzzd)1(1d10210xxzzd)1(1d10210101021122111)13(zzxxddyyxxIxd)1(1d)13(102102ln)13(233练习2.设在第为1一卦限中的部分,则有().;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC(2000考研)Czzd思考.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则HzRzRI022d2RHarctan2oHxyz解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.作业：P282,1(1)(2),3.课堂练习、复习坐标系，球面坐标系。柱面一后二角坐标系先二后一、先围成。请考察：利用直和由，计算三重积分,ddd)(.322222azzyxzyxyxI§2第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)一、曲面的侧及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四*、两类曲面积分的联系一、曲面的侧及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.S分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:nv对一般的有向曲面,用“分割,近似代替,求和,取极限”ni10lim0limni1iiiiPcos),,(iiiiRcos),,(0limni1iiiiQcos),,(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,ni1xziiiiSQ))(,,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场)),,,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPA若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.引例中,流过有向曲面的流体的流量为zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd向量形式yxRxzQzyPddddddSAd3.性质(1)若则(2)SAdiSAd三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd证:0limni1yxiS)(yxi)(∵取上侧,),(iiiz0limni1),,(iiRyxi)(yxx,yzyxRyxDdd))(,,(yxzyxRdd),,(•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,()z,,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd例1.计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式yxxzdd)(3的顶部),(:2221aaayxz取上侧的底部),(:2222aaayxz取下侧yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd3xzy解:把分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分,ddyxxyz其中为球面2x外侧在第一和第五卦限部分.ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyyxDyxyxyxdd1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd)1(22yxyxDyxxydd221yxddrrozyx1例3*.设S是球面的外侧,计算SxxzyI2cosdd2解:利用轮换对称性,有0cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22,ddddddzyxyxzxzyI练习求1:222222czbyax取外侧.解:zyxdddxdycyxDbyax,2222111dxdycyxDbyax,2222111,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意±号1:2222,byaxDyx其中zyxdd21ccba4利用轮换对称性xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbaI4作业：P289,1(1)(3)(5).四*、两类曲面积分的联系ni1zyiiiiSP))(,,(xziiiiSQ))(,,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR))(,,(0lim0limni1SRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画221cosyxx例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2∴原式=)(x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.)(2xz2211cosyx)(xxyxDoyxz2原式=得代入将,)(2221yxz222)(41yx)(2221yxyxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd小结：当时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1)),(,,(d),,(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd)),(,,(dd),,(（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.§3高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式二、斯托克斯公式三、空间曲线积分与路径无关的条件一、高斯(Gauss)公式Green公式Gauss公式推广定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,yxRxzQzyPddddddzyxzRdddyxRdd下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)231zyxyxD),,(yxRyxyxRdd),,(,),(:11yxzz证明:设,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRddyxD2zyxzRdddyxdd13yxRdd为XY型区域,),,(:22yxzz则yxyxRdd),,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),,(),(1yxz所以zyxzRdddyxRdd若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证zyxyQdddyxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPdddxzQddzyxxPdddzyPdd三式相加,即得所证Gauss公式：例1.用Gauss公式计算其中为