数学分析试题库--证明题

1数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何BbAa,有ba；（2）对任何0，存在ByAx,，使得xY.证明：.infsupBA2.设A，B是非空数集，记BAS，证明：（1）BASsup,supmaxsup；（2）BASinf,infmininf3.按N定义证明352325lim22nnnn4.如何用ε-N方法给出aannlim的正面陈述？并验证|2n|和|n)1(|是发散数列.5.用方法验证：3)23(2lim221xxxxxx.6．用M方法验证：211lim2xxxx.7.设axxx)(lim0，在0x某邻域);(10xU内ax)(，又.)(limAtfat证明Axfxx))((lim0.8.设)(xf在点0x的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列nx，（1）)(0xUxn，0xxn，（2）0010xxxxnn，都有Axfnn)(lim，则Axfxx)(lim0.9.证明函数为无理数为有理数x，xxxf,0,)(3在00x处连续，但是在00x处不连续.210.设)(xf在（0，1）内有定义，且函数)(xfex与)(xfe在（0，1）内是递增的，试证)(xf在（0，1）内连续.11.试证函数2sinxy，在),0[上是不一致连续的.12.设函数)(xf在（a,b）内连续，且)(limxfax=)(limxfbx=0，证明)(xf在（a,b）内有最大值或最小值.13.证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数)(xf是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.14.证明：若)(xf在点a处可导，f（x）在点a处可导.15.设函数),()(baxf在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(xf严格递增，若)()(bfaf证明，对一切),(bax均有()()()fxfafb16.设函数)(xf在],[a内可导，并且()0fa，试证：若当),(ax时，有()0fxc则存在唯一的),(a使得0)(f，又若把条件()fxc减弱为/()0()fxax+，所述结论是否成立？17.证明不等式21(0)2xxexx18.设f为(,)上的连续函数，对所有,()0xfx，且limx()fxlimx()0fx，证明()fx必能取到最大值.19.若函数()fx在[0,1]上二阶可导,且(0)0f，(1)1f，(0)(1)0ff，则存在(0,1)c使得|()|2fc.20.应用函数的单调性证明2sin,(0,);2xxxx21.设函数0,00,1sin)(xxxxxfm（m为实数），试问：3（1）m等于何值时，f在0x连续；（2）m等于何值时，f在0x可导；（3）m等于何值时，f在0x连续；22.设()fx在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()fxa，()fxb，其中,ab都是非负常数，c是(0,1)内的任一点，证明()22bfca23.设函数],[)(baxf在上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在),(ba使得)(4)()()2(2)(2fabafbafbf24.若)(xf在点0x的某个领域上有)1(n阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.25.用泰勒公式证明:设函数)(xf在ba,上连续,在ba,内二阶可导,则存在),(ba,使得)(4)()()2(2)(''2fabafbafbf.26.设函数)(xf在2,0上二阶可导,且在2,0上1)(xf,1)(''xf.证明在2,0上成立2)(''xf.27.设f是开区间I上的凸函数,则对任何I,,f在,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在0L,对任何,,'''xx,成立'''''')()(xxLxfxf.28.设()fx在[,](0)aa上满足Lipschitz条件：|()()|||fxfykxy,证明()fxx在[,]a上一致连续.29.试证明方程11nnxxx在区间1(,1)2内有唯一实根。430.设函数)(xf在点a具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim''20afhafhafhafh31.设)(xf在),(ba上可导，且Axfxfbxax)(lim)(lim00.求证：存在),(ba，使0)(f.32.设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内有n阶导数，且存在1n个点),(,,,121baxxxn满足：)()()()()()2()1(121121bfxfxfxfafbxxxann求证：存在),(ba，使0)()(nf.33.设函数f在点0x存在左右导数，试证f在点0x连续.34.设函数f在],[ba上可导，证明：存在),(ba，使得)()()]()([222fabafbf.35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：aababbabln，其中ba0.36.证明:任何有限数集都没有聚点.37.设,nnab是一个严格开区间套,即满足1221nnaaabbb,且lim0nnnba.证明:存在唯一的一点,使得,1,2,nnabn.38.设nx为单调数列.证明:若nx存在聚点,则必是唯一的,且为nx的确界.39.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续,证明()fx在[,]ab上一致连续.40.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续,证明()fx在[,]ab上有界.41.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续,证明()fx在[,]ab上有最大值.542.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续且单调增加,1(),(,],()(),,xaftdtxabxaFxfaxa证明()Fx为[,]ab上的增函数.43.函数()fx在闭区间[0,1]上连续.证明2200(sin)(cos)fxdxfxdx.44.若函数()fx在闭区间[,]ab上单调,证明()fx在[,]ab上可积.45.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续,且()fx不恒等于零,证明2()0bafxdx.46.设函数()fx为(,)上以p为周期的连续周期函数.证明对任何实数a,恒有0()()appafxdxfxdx.47.若函数()fx在[0,)上连续,且lim()xfxA,证明01lim()xxftdtAx.48.若函数()fx和()gx在[,]ab上可积,证明222()()()()bbbaaafxdxgxdxfxgxdx.49.若函数()fx在[,]aa上可积,且为偶函数,证明0()2()aaafxdxfxdx.50.若函数()fx在[,]ab上可积,证明函数()(),[,]xaxftdtxab在[,]ab上连续.51.若函数()fx在闭区间[,]ab上连续,且()()fafb.若为介于()fa与()fb之间的任何实数,则存在0[,]xab,使得0()fx.52.若函数()fx在[,]ab上连续,证明函数()(),[,]xaxftdtxab在[,]ab上处处可导,且()()(),[,]xadxftdtfxxabdx.53.若数列nb有limnnb,则级数11nnnbb发散.54.设1nnu为正项级数,且存在常数(0,1)q,使得对一切1n,成立1nnuqu.证明级数61nnu收敛.55.设1nnu和1nnv为正项级数,且对一切1n,成立11nnnnuvuv.级数1nnv收敛.证明级数1nnu也收敛.56.设正项级数1nnu收敛.证明级数21nnu也收敛.试问反之是否成立?57.设0,1,2,nan,且nna有界,证明级数21nna收敛.58.设级数21nna收敛.证明级数1(0)nnnaan也收敛.59.若lim0nnnakb,且级数1nnb绝对收敛,证明级数1nna也收敛.若上述条件中只知道级数1nnb收敛,能推得级数1nna也收敛吗?60.设0na,证明级数112111nnnaaaa收敛.61.221)(xnxxSn.证明在),(内)(xSn0,)(n.62.设数列}{na单调收敛于零.试证明:级数nxancos在区间]2,[)0(上一致收敛.63.几何级数0nnx在区间],[aa)10(a上一致收敛；但在)1,1(内非一致收敛.64.设数列}{na单调收敛于零.证明:级数nxancos在区间]2,[)0(上一致收敛.65.证明级数121)1(nnnx在R内一致收敛.766.证明函数0!2)(nnnnxxf满足微分方程Rxyyy,02.67.设.0,1,0,sin)(xxxxxf证明对)0(,)(nfn存在并求其值.68.证明：幂级数1nnnx的和函数为1nnnx)1ln(x,x)1,1[.并求级数1132nnnn和Leibniz级数11)1(nnn的和.69.证明：幂级数1nnnx的和函数为1nnnx2(1)xx,1||x.并利用该幂级数的和函数求幂级数1123nnnnx的和函数以及数项级数1121nnn的和.70.证明幂级数01212)1(nnnnx的和函数为arctgx，并利用该幂级数的和函数求数项级数012)1(nnn的和.71.设)(xf是以2为周期的分段连续函数,又)(xf满足)()(xfxf.求证)(xf的Fourier系数满足,0,0220nnbaa.,2,1n72.设)(xf是以2为周期的分段连续函数,又设)(xf是偶函数，且满足fxfx.求证：)(xf的Fourier系数,012na.,2,1n73．求证函数系nxxxsin,,2sin,sin是],0[上的正交函数系.74．设)(xf是以2L为周期的连续的偶函数。又设)(xf关于2Lx对称，试证：)(xf的傅立叶系数：,3,2,1,0d)12cos()(112nxLxnxfLaLLn.75.设)(xf是以2为周期的可微周期函数，又设)(xf连续，),2,1(,,0nbaann是)(xf的Fourier系数.求证：lim,limnnnnab00.76.证明极限yxyxyx)0,0(),(lim不存在。877.用极限定义证明：.0lim22)0,0(),(yxyxyx78.证明极限22222)0,0(),()(limyxyxyxyx不存在.79.设),(),(xfyxF)(xf在0x连续，证明：对,0Ry),(yxF在),(00yx连续.80.证明：如果),(yxf在),(000yxP连续，且0),(00yxf，则对任意),(00yxfr,),;(0P对一切),;(),(0PyxP有.),(ryxf81.证明：22),(yxyxf在点)0,0(处连续且偏导数不存在.82.证明；2222221sin0(,)00yxyxyfxyxy